《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是 (B)
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5
D.4＜OM＜5

答案： 【解析】：
首先，我们知道⊙O的直径为10，所以半径$r = \frac{10}{2} = 5$。
接着，我们考虑弦AB和圆心O的关系。
由于弦AB的长度为6，且弦的中点到圆心的距离（即圆心到弦的垂线段）与弦的一半构成直角三角形，
我们可以利用勾股定理求出圆心O到弦AB的距离$d$。
设弦AB的中点为$N$，则$AN = \frac{AB}{2} = 3$，
在直角三角形$OAN$中，有$ON^2 + AN^2 = OA^2$，
即$d^2 + 3^2 = 5^2$，
解得$d = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$。
由于点$M$是弦$AB$上的动点，
因此线段$OM$的最小值就是圆心到弦的距离$d$，
即$OM_{\text{min}} = 4$；
线段$OM$的最大值就是圆的半径$r$，
即$OM_{\text{max}} = 5$。
所以，线段$OM$的长的取值范围是$4 \leq OM \leq 5$。
【答案】：B。

9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,书中记载：“今有中,不知大小.以锯锯之,深1寸,锯道长1尺,问经几何?”其意思：“如图,今有一圆形木材在墙中,不知其大小.用锯子去锯这个木材,锯口深DE= 1寸,锯道长AB= 10寸,这块圆形木材的直径是______26寸”

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质，通过构建直角三角形，利用垂径定理和勾股定理来求解圆的直径。
步骤一：分析已知条件
已知锯口深$DE = 1$寸，锯道长$AB = 10$寸，设圆的半径为$r$寸。
因为$OD\perp AB$，根据垂径定理可知$D$为$AB$中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB = 5$寸。
又因为$DE = 1$寸，所以$OE = r - 1$寸。
步骤二：构建直角三角形并应用勾股定理
在$Rt\triangle AOE$中，$OA$为圆的半径$r$寸，$OE = r - 1$寸，$AD = 5$寸。
根据勾股定理$OA^{2}=AD^{2}+OE^{2}$，可列出方程$r^{2}=5^{2}+(r - 1)^{2}$。
步骤三：解方程求出半径$r$
对$r^{2}=5^{2}+(r - 1)^{2}$进行求解：
$\begin{aligned}r^{2}&=25 + r^{2}- 2r + 1\\r^{2}-r^{2}+ 2r&=25 + 1\\2r&=26\\r&=13\end{aligned}$
步骤四：求出圆的直径
因为圆的直径$d = 2r$，把$r = 13$代入可得$d = 2×13 = 26$寸。
【答案】：26寸

10. 如图,在⊙O中,$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{AC}$,AD⊥OC于点D.求证：AB= 2AD.

答案： 证明：设∠AOC=α，⊙O的半径为r。
∵AD⊥OC，
∴在Rt△AOD中，AD=OA·sinα=r·sinα。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴∠AOB=2∠AOC=2α。
过点O作OE⊥AB于点E，由垂径定理得AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=α。
在Rt△AOE中，AE=OA·sinα=r·sinα。
∴AB=2AE=2r·sinα，
又
∵AD=r·sinα，
∴AB=2AD。

11. 已知⊙O的半径为10,弦AB//CD,AB= 12,CD= 16,则AB和CD的距离为2或14.

答案： 解：分两种情况：
1. 当弦AB和CD在圆心O的同侧时，
过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
AE=AB/2=6，CF=CD/2=8。
在Rt△AOE中，OE=√(OA²-AE²)=√(10²-6²)=8。
在Rt△COF中，OF=√(OC²-CF²)=√(10²-8²)=6。
AB和CD的距离为OE-OF=8-6=2。
2. 当弦AB和CD在圆心O的两侧时，
同理可得OE=8，OF=6，
AB和CD的距离为OE+OF=8+6=14。
综上，AB和CD的距离为2或14。

12. 如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D.
(1)求证：AC= BD；
(2)若AC= 3,大圆和小圆的半径分别为6和4,则CD的长度是______.

(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∵AE - CE = BE - DE，∴AC=BD；
(2)7/3

答案：
(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∵AE - CE = BE - DE，
∴AC=BD；
(2)解：设CD=2x，则CE=DE=x，
∵AC=3，AC=BD，
∴AE=AC + CE=3 + x，
在Rt△AOE中，OE²=OA² - AE²=6² - (3 + x)²，
在Rt△COE中，OE²=OC² - CE²=4² - x²，
∴6² - (3 + x)²=4² - x²，
解得x=7/6，
∴CD=2x=7/3。