《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 如图,在同圆中,若$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{CD}$,则AB与2CD的大小关系是 (B)
A.AB＞2CD
B.AB＜2CD
C.AB= 2CD
D.不能确定

答案： 【解析】：
本题可根据圆的性质，通过取$\overset{\frown}{AB}$的中点$E$，连接$AE$、$BE$，利用等弧对等弦以及三角形三边关系来比较$AB$与$2CD$的大小。
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$E$，连接$AE$、$BE$。
因为$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{CD}$，且$E$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$。
根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，可得$AE = BE = CD$。
在$\triangle AEB$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，即$AE + BE\gt AB$。
又因为$AE = BE = CD$，所以$2CD\gt AB$，也就是$AB\lt 2CD$。
【答案】：B。

9. 有一Rt△ABC,∠C为直角,∠ABC= 26°,将它放置在⊙O中,如图,点A、B在圆上,边BC经过圆心O,$\overset{\frown}{AB}$的度数为128°.

答案： 解：连接OA。
∵∠C=90°，∠ABC=26°，
∴∠BAC=90°-26°=64°。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=26°。
∴∠OAC=∠BAC-∠OAB=64°-26°=38°。
∵∠C=90°，
∴∠AOC=90°-∠OAC=90°-38°=52°。
∵∠AOC是圆心角，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为∠AOB，
又
∵∠AOB=180°-∠AOC=180°-52°=128°，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为128°。
128°

10. 如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,且OD//AC. 求证：$\overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DB}$.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆的对称性以及平行线的性质。要证明$\overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DB}$，我们可以转化为证明$\angle COD=\angle BOD$，由于$OA=OB$，所以我们可以利用等腰三角形的性质以及平行线的性质来证明这两个角相等。
【答案】：
证明：
连接$OC$，
∵$OA = OC$（圆的半径相等），
∴$\angle A = \angle OCA$（等腰三角形的性质），
∵$OD// AC$，
∴$\angle A = \angle BOD$，$\angle OCA = \angle COD$（平行线的性质，内错角相等），
∴$\angle COD = \angle BOD$（等量代换），
∴$\overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DB}$（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。

11. 如图,AB是O的直径,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{ED}$,∠COD= 34°,则∠AEO的度数为51°.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆的性质，即同弧所对的圆心角相等，以及等腰三角形的性质。
由于AB是O的直径，且$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{ED}$，
根据圆的性质，我们知道同弧所对的圆心角相等，
所以$\angle BOC = \angle COD = \angle EOD = 34^\circ$。
由于$\angle AOE$与$\angle EOD$和$\angle COD$和$\angle BOC$共同组成一个圆周角，
所以$\angle AOE = 180^\circ - (\angle EOD + \angle COD + \angle BOC) = 180^\circ - 3 × 34^\circ = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$，
又因为$OA = OE$（半径相等），
所以$\triangle AOE$是等腰三角形，
根据等腰三角形的性质，底角相等，
所以$\angle AEO = \frac{180^\circ - \angle AOE}{2} = \frac{180^\circ - 78^\circ}{2} = 51^\circ × \frac{2}{2} = 51^\circ$。
【答案】：$51^\circ$。

12. 如图,A是半圆上的一个三等分点,B是弧AN的中点,P是直径MN上一个动点,圆O的半径为1. 当AP+BP的值最小时,画出点P的位置,并求出AP+BP的最小值.

答案： 解：作点A关于直径MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，点P即为所求。
连接OA、OA'、OB、A'N。
因为A是半圆上的三等分点，所以∠AON=60°，由对称性知∠A'ON=∠AON=60°。
因为B是弧AN的中点，所以∠BON=30°，则∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°。
因为OA'=OB=1，所以A'B=√(OA'²+OB²)=√2。
故AP+BP的最小值为√2。