《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 如果一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的积,那么这两个因式中至少有一个为0,这样就可以把一元二次方程转化为两个一元一次方程,这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
2. 用因式分解法解一元二次方程,目的是“降次”,使一元二次方程化归为一元一次方程.

答案： 1. 0；一次因式；一元一次；因式分解
2. 降次；一

1. 方程$x^{2}-3x= 0$的解为 (D)
A.$x= 0$
B.$x= 3$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= -3$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= 3$

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的解法，特别是因式分解法。
首先，我们将方程$x^{2}-3x= 0$进行因式分解，
得到$x(x-3)=0$。
接着，我们解这个方程，
得到两个$x=0$和$x-3=0$，
即$x_{1}= 0,x_{2}= 3$。
【答案】：
D.$x_{1}= 0,x_{2}= 3$。

2. 一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程$(x-2)(x-4)= 0$的根,则这个三角形的周长是 (C)
A.11
B.11或13
C.13
D.以上选项都不正确

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法以及三角形三边关系的应用。
首先，我们解方程$(x-2)(x-4)= 0$，得到两个根$x_1=2$和$x_2=4$。
然后，我们需要判断这两个根哪个能与3和6构成三角形。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对于$x_1=2$，由于$2+3＜6$，不满足三角形的三边关系，所以2不能作为三角形的第三边。
对于$x_2=4$，由于$3+4＞6$，$4+6＞3$，$6-4＜3$，满足三角形的三边关系，所以4可以作为三角形的第三边。
因此，三角形的周长为$3+4+6=13$。
【答案】：
C. 13。

3. 一元二次方程$x(x-2)= 2-x$的根是 (D)
A.-1
B.2
C.1和2
D.-1和2

答案： 【解析】：
首先，我们将原方程$x(x-2)= 2-x$进行整理，得到：
$x(x-2) + (x-2) = 0$
接着，我们对方程进行因式分解，提取公因式$(x-2)$，得到：
$(x-2)(x+1) = 0$
由此，我们可以得到两个方程：
$x-2 = 0$ 或 $x+1 = 0$
解这两个方程，我们可以得到方程的根为：
$x_{1} = 2$ 和 $x_{2} = -1$
【答案】：
D. -1和2

4. 方程$(x-1)(x+2)= 2(x+2)$的根是$x_{1} = -2$，$x_{2} = 3$. 方程$(4x-1)^{2}= 4x-1$的根是$x_{1} = \frac{1}{4}$，$x_{2} = \frac{1}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是因式分解法和直接开方法。
对于方程$(x-1)(x+2)= 2(x+2)$，可以先将等式右边的项移到左边，得到$(x-1)(x+2) - 2(x+2) = 0$，然后利用因式分解法求解。
对于方程$(4x-1)^{2}= 4x-1$，可以先将等式右边的项移到左边，得到$(4x-1)^{2} - (4x-1) = 0$，然后通过因式分解或者将$(4x-1)$看作一个整体，利用直接开方法求解。
【答案】：
解：
1. 对于方程$(x-1)(x+2)= 2(x+2)$：
移项得：$(x-1)(x+2) - 2(x+2) = 0$
因式分解得：$(x+2)(x-1-2) = 0$，即$(x+2)(x-3) = 0$
解得：$x_{1} = -2$，$x_{2} = 3$
2. 对于方程$(4x-1)^{2}= 4x-1$：
移项得：$(4x-1)^{2} - (4x-1) = 0$
因式分解得：$(4x-1)(4x-1-1) = 0$，即$(4x-1)(4x-2) = 0$
或者将$(4x-1)$看作整体，直接开方得：$4x-1=0$ 或 $4x-1=1$（由于平方根的性质，需要考虑正负根，但此处$4x-1= -1$无实数解，故舍去）
解得：$x_{1} = \frac{1}{4}$，$x_{2} = \frac{1}{2}$（若通过直接开方法，则直接得出这两个解）

5. 利用因式分解思想解答下列问题.
(1)写出一个一元二次方程,使这个方程一个根为1,另一个根是2：$x^2 - 3x + 2 = 0$.
(2)写出一个根为2,另一个根x满足$0＜x＜2$的一元二次方程为：$x^2 - 3x + 2 = 0$ (答案不唯一).
(3)写出一个一元二次方程,使这个方程的二次项系数为2,一个根为-3,另一个根x满足满足$1＜x＜3$的一元二次方程为：$2x^2 + 2x - 12 = 0$ (答案不唯一).

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的因式分解法以及根与系数的关系。
(1) 对于一个根为1，另一个根为2的一元二次方程，我们可以根据根与系数的关系，得到方程的形式为：$(x-1)(x-2)=0$，进一步整理得到：$x^2 - 3x + 2 = 0$。
(2) 对于一个根为2，另一个根在$0$和$2$之间的一元二次方程，我们可以选择$x=1$作为另一个根，然后根据根与系数的关系，得到方程的形式为：$(x-2)(x-1)=0$，进一步整理得到：$x^2 - 3x + 2 = 0$。注意，这里的答案不唯一，因为只要另一个根在$0$和$2$之间，都可以满足条件。
(3) 对于二次项系数为2，一个根为-3，另一个根在$1$和$3$之间的一元二次方程，我们可以先根据二次项系数为2，设定方程的形式为：$2x^2 + bx + c = 0$。然后，利用根与系数的关系，以及已知的根-3，和选择的另一个根（例如2，因为$1＜2＜3$），我们可以得到两个方程：$-3+2=-\frac{b}{2}$ 和 $-3 × 2=\frac{c}{2}$。解这两个方程，我们可以得到$b=2$和$c=-12$。所以，满足条件的一元二次方程为：$2x^2 + 2x - 12 = 0$。注意，这里的答案也不唯一，因为只要另一个根在$1$和$3$之间，都可以通过类似的方法得到满足条件的方程。
【答案】：
(1) $x^2 - 3x + 2 = 0$
(2) $x^2 - 3x + 2 = 0$ (答案不唯一)
(3) $2x^2 + 2x - 12 = 0$ (答案不唯一)

6. 用因式分解法解下列方程.
(1)$3x^{2}+6x= 0$； (2)$3y^{2}= 5y$；
(3)$x^{2}+5= 2\sqrt{6}x-1$； (5)$(x-6)^{2}= 6-x$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的因式分解法解法。
对于每个小题，我们需要先将方程化为标准形式，然后尝试进行因式分解，最后求解。
(1) 解：
原方程为 $3x^{2} + 6x = 0$
提取公因式得：$3x(x + 2) = 0$
由此得到两个方程：
$3x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_{1} = 0$，$x_{2} = -2$
(2) 解：
原方程为 $3y^{2} = 5y$
移项得：$3y^{2} - 5y = 0$
提取公因式得：$y(3y - 5) = 0$
由此得到两个方程：
$y = 0$ 或 $3y - 5 = 0$
解得：$y_{1} = 0$，$y_{2} = \frac{5}{3}$
(3) 解：
原方程为 $x^{2} + 5 = 2\sqrt{6}x - 1$
移项得：$x^{2} - 2\sqrt{6}x + 6 = 0$
这是一个完全平方，即：$(x - \sqrt{6})^{2} = 0$
解得：$x_{1} = x_{2} = \sqrt{6}$
(5) 解：
原方程为 $(x - 6)^{2} = 6 - x$
展开并移项得：$x^{2} - 12x + 36 = 6 - x$
整理得：$x^{2} - 11x + 30 = 0$
因式分解得：$(x - 6)(x - 5) = 0$
由此得到两个方程：
$x - 6 = 0$ 或 $x - 5 = 0$
解得：$x_{1} = 6$，$x_{2} = 5$
【答案】：
(1) $x_{1} = 0$，$x_{2} = -2$
(2) $y_{1} = 0$，$y_{2} = \frac{5}{3}$
(3) $x_{1} = x_{2} = \sqrt{6}$
(5) $x_{1} = 6$，$x_{2} = 5$

7. 用因式分解法解下列方程.
(1)$x^{2}+5x-6= 0$； (2)$x^{2}-5x+6= 0$； (3)$(x+4)(3x+6)= 2x+4$；
(4)$(y-3)(y-4)= 12$； (5)$(2x+1)^{2}-6(2x+1)+9= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的因式分解法解法。
对于形如$ax^2 + bx + c = 0$的一元二次方程，如果可以将它分解为两个因式的乘积等于0，那么方程的解就是这两个因式等于0的解。
(1) 对于方程 $x^{2}+5x-6= 0$，需要找到两个数，它们的和为5，乘积为-6。这两个数是6和-1。因此，方程可以分解为 $(x+6)(x-1)=0$。
(2) 对于方程 $x^{2}-5x+6= 0$，需要找到两个数，它们的和为-5，乘积为6。这两个数是-2和-3。因此，方程可以分解为 $(x-2)(x-3)=0$。
(3) 对于方程 $(x+4)(3x+6)= 2x+4$，首先展开并整理得 $3x^2 + 18x + 24 = 2x + 4$，进一步整理为 $3x^2 + 16x + 20 = 0$。然后尝试因式分解，得到 $(x+2)(3x+10)=0$。
(4) 对于方程 $(y-3)(y-4)= 12$，首先展开并整理得 $y^2 - 7y + 12 = 12$，进一步整理为 $y^2 - 7y = 0$。然后因式分解，得到 $y(y-7)=0$。
(5) 对于方程 $(2x+1)^{2}-6(2x+1)+9= 0$，这是一个完全平方的形式。首先展开并整理得 $4x^2 + 4x + 1 - 12x - 6 + 9 = 0$，进一步整理为 $4x^2 - 8x + 4 = 0$。然后因式分解，得到 $(2x-2)^2 = 0$，也可以写作 $(2(x-1))^2 = 0$ 或 $4(x-1)^2 = 0$。
【答案】：
(1) 解：$x^{2}+5x-6= (x+6)(x-1)=0$，
所以 $x_1 = -6$，$x_2 = 1$。
(2) 解：$x^{2}-5x+6= (x-2)(x-3)=0$，
所以 $x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
(3) 解：$(x+4)(3x+6)= 2x+4$，
整理得 $3x^2 + 16x + 20 = 0$，
因式分解得 $(x+2)(3x+10)=0$，
所以 $x_1 = -2$，$x_2 = -\frac{10}{3}$。
(4) 解：$(y-3)(y-4)= 12$，
整理得 $y^2 - 7y = 0$，
因式分解得 $y(y-7)=0$，
所以 $y_1 = 0$，$y_2 = 7$。
(5) 解：$(2x+1)^{2}-6(2x+1)+9= 0$，
整理得 $4x^2 - 8x + 4 = 0$，
因式分解得 $(2x-2)^2 = 0$，
所以 $x_1 = x_2 = 1$。