《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

用一元二次方程解决问题的关键是,求得方程的根后一定要检验是否符合题目实际意义.

答案： 检验

1. 用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为 6 平方米. 若设它的一条边长为 x 米,则根据题意可列出关于 x 的方程为(B)
A.$x(5 + x) = 6$
B.$x(5 - x) = 6$
C.$x(10 - x) = 6$
D.$x(10 - 2x) = 6$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的建立。
首先，我们知道矩形的周长是10米，若设其中一条边长为$x$米，那么另外三条边的长度分别为$x$米，$(5-x)$米，$(5-x)$米。
因为矩形的对边相等，所以我们只需要考虑两条相邻的边。
设其中一条边长为$x$米，那么另一条相邻的边长为$\frac{10}{2} - x = (5 - x)$米。
接着，根据题目条件，矩形的面积为6平方米。
因此，我们可以根据矩形的面积公式：面积 = 长 × 宽，列出方程：
$x × (5 - x) = 6$
这就是我们需要求解的一元二次方程。
【答案】：
B

2. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植 3 株时,平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株,平均每株盈利减少 0.5 元,要使每盆的盈利达到 15 元,每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株,则可以列出的方程是(A)
A.$(3 + x)(4 - 0.5x) = 15$
B.$(x + 3)(4 + 0.5x) = 15$
C.$(x + 4)(3 - 0.5x) = 15$
D.$(x + 1)(4 - 0.5x) = 15$

答案： 【解析】：
这个问题主要考察的是一元二次方程的建立。
首先，需要理解题目中的关系：每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元。
设每盆多植$x$株，那么每盆的株数就变成了$3+x$株。
同时，由于每增加1株，平均每株的盈利就减少0.5元，所以新的平均每株盈利就是$4-0.5x$元。
因此，每盆的总盈利就是$(3+x)(4-0.5x)$元。
题目要求每盆的盈利达到15元，所以可以列出方程：$(3+x)(4-0.5x)=15$。
【答案】：
A

3. 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛. 设比赛组织者应邀请 x 个队参赛,则 x 满足的关系式为(B)
A.$\frac{1}{2}x(x + 1) = 28$
B.$\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$
C.$x(x + 1) = 28$
D.$x(x - 1) = 28$

答案： 【解析】：
首先，考虑每两个队之间都要比赛一场，对于一个有$x$个队的比赛，任选两队进行比赛的组合数为$C_x^2$。
$C_x^2$的公式为：
$C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}$，
根据题意，7天每天4场比赛，所以总比赛场数为：
$7 × 4 = 28$，
因此，我们可以得到方程：
$\frac{x(x-1)}{2} = 28$，
进一步整理，得到：
$\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$。
【答案】：B.$\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$。

4. 在学校劳动实践基地里有一块长 20 米、宽 10 米的长方形菜地,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道(如图中阴影部分所示),剩下部分种植蔬菜,已知种植蔬菜的面积为 171 平方米,则小道的宽为1米.

答案： 【解析】：本题主要考查一元二次方程的应用。
设小道的宽为$x$米，则种植蔬菜的部分可看作一个长方形，
其长为$(20 - 2x)$米，宽为$(10 - x)$米。
根据长方形的面积公式：$S=a × b$，
其中$S$为面积，$a$为长，$b$为宽，
所以种植蔬菜的面积为$(20 - 2x)(10 - x)$平方米。
已知种植蔬菜的面积为$171$平方米，
因此可以列出方程：
$(20 - 2x)(10 - x) = 171$，
展开并整理得：
$200 - 20x - 20x + 2x^2 = 171$，
$2x^2 - 40x + 29 = 0$，
通过求解一元二次方程，
我们可以使用求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
其中$a=2$，$b=-40$，$c=29$，
代入求根公式得：
$x = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 × 2 × 29}}{2 × 2}$
$= \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 232}}{4}$
$= \frac{40 \pm \sqrt{1368}}{4}$
$= \frac{40 \pm 37.0}{4}$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 14.5$（由于$14.5 \gt 10$，不符合实际情况，所以舍去）。
因此，小道的宽为$1$米。
【答案】：1。

5. 兰州市政府为解决老百姓看病贵的问题,决定下调药品的价格,某种药品经过两次降价,由每盒72 元调至 56 元. 若每次平均降价的百分率为 x,根据题意可列方程为$72(1-x)^2 = 56$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用，特别是降价率或增长率问题。
首先，我们需要理解降价百分率的含义。若每次降价的百分率为$x$，则降价后的价格是原价的$1-x$倍。
第一次降价后，药品的价格变为$72(1-x)$元。
第二次降价后，价格再次变为第一次降价后的价格的$1-x$倍，即$72(1-x)(1-x) = 72(1-x)^2$元。
根据题意，这个价格应该等于56元。
因此，我们可以列出方程：$72(1-x)^2 = 56$。
【答案】：
方程为：$72(1-x)^2 = 56$。

6. 某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一个面积为 $600m^2$的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广. 如图,茶园一面靠墙,墙长 35 m,另外三面用 69 m 长的篱笆围成,其中一边开有一扇 1 m 宽的门(不包括篱笆). 求这个茶园的长和宽.

答案： 【解析】：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键。
设这个茶园垂直于墙的一边长为$x$米，则平行于墙的一边长为$(69-2x+1)$米，即$(70-2x)$米。
根据题意，茶园的面积为$600m^2$，且一边靠墙，墙长$35m$，
所以我们可以列出方程：
$x(70 - 2x) = 600$
展开并整理得：
$70x - 2x^2 = 600$
$2x^2 - 70x + 600 = 0$
$x^2 - 35x + 300 = 0$
接下来，我们解这个一元二次方程。
首先，计算判别式$\Delta$：
$\Delta = (-35)^2 - 4 × 1 × 300 = 1225 - 1200 = 25$
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
使用求根公式求解：
$x = \frac{-(-35) \pm \sqrt{25}}{2 × 1} = \frac{35 \pm 5}{2}$
得到两个解：
$x_1 = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{30}{2} = 15$
当$x = 20$时，平行于墙的一边长为$70 - 2 × 20 = 30$米，小于墙的长度$35$米，符合题意；
当$x = 15$时，平行于墙的一边长为$70 - 2 × 15 = 40$米，大于墙的长度$35$米，不符合题意，舍去。
因此，这个茶园的长为$30$米，宽为$20$米。
【答案】：这个茶园的长为$30$米，宽为$20$米。

7. 如图,在打印图片之前,为确定打印区域,需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离),上、下、左、右页边距分别为 a cm、b cm、c cm、d cm. 若纸张大小为 $16cm×10cm$,考虑到整体的美观性,要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的 70%,则需如何设置页边距？

答案： 【解析】：本题主要考查一元二次方程的应用。
设页边距为 $x cm$，则打印区域的长和宽分别为 $(16 - 2x) cm$ 和 $(10 - 2x) cm$。
根据题意，打印区域的面积占纸张面积的 $70\%$，即：
$(16 - 2x)(10 - 2x) = 16 × 10 × 70\%$，
展开并整理得：
$160 - 32x - 20x + 4x^2 = 112$，
$4x^2 - 52x + 48 = 0$，
$x^2 - 13x + 12 = 0$，
通过因式分解或使用求根公式，我们可以得到：
$(x - 1)(x - 12) = 0$，
解得 $x_1 = 1$， $x_2 = 12$。
由于页边距不可能超过纸张的一半（即 $x \leq 5$），所以 $x_2 = 12$ 不符合题意，舍去。
因此，页边距应设置为 $1 cm$。
【答案】：$1 cm$。