《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 下列说法中正确的是 (B)
A.相等的圆心角所对的弦相等
B.在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等

答案： 解：A. 缺少“在同圆或等圆中”这一条件，故A错误；
B. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故B正确；
C. 缺少“在同圆或等圆中”这一条件，故C错误；
D. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等，故D错误。
结论：B

2. 如图,AB、CD是⊙O的直径,若∠AOC= 55°,则弧AD的度数为 (C)
A.55°
B.110°
C.125°
D.135°

答案： 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵∠AOC=55°，
∴∠AOD=∠AOB - ∠BOD，
又
∵∠BOD=∠AOC=55°（对顶角相等），
∴∠AOD=180° - 55°=125°。
∴弧AD的度数为125°。
答案：C

3. 如图,在⊙O中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$,∠A= 30°,则∠B的度数为 (B)
A.150°
B.75°
C.60°
D.15°

答案： 【解析】：
本题考查的知识点是圆的性质以及等腰三角形的性质。
在圆中，等弧对应的圆周角相等，由于$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，所以$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，其中$AB=AC$。
在等腰三角形中，底角相等，即$\angle B=\angle C$，利用三角形内角和为$180^\circ$，有$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$，已知$\angle A=30^\circ$，所以$\angle B+\angle C=150^\circ$，由于$\angle B=\angle C$，因此$\angle B=\frac{150^\circ}{2}=75^\circ$。
【答案】：B

4. (1) 弦AB把⊙O分成2:7两部分,∠AOB=80°；
(2) 在⊙O中,弦AB的长恰好等于半径,弦AB所对的圆心角为60°；
(3) 圆的一条弦分圆为3:6两部分,其中劣弧所对圆心角为120°.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆的对称性和圆心角与弧的关系。
(1) 弦AB把⊙O分成2:7两部分，意味着弦AB所对的两条弧的度数之比为2:7。
由于一个圆的度数总和为$360^\circ$，所以弦AB所对的劣弧的度数为$\frac{2}{9} × 360^\circ = 80^\circ$。
根据圆心角与弧的关系，劣弧所对的圆心角$\angle AOB$等于劣弧的度数，即$80^\circ$。
同时，优弧所对的圆心角为$360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$，但题目只问劣弧所对的圆心角，所以答案为$80^\circ$（或写成$\frac{4\pi}{9}$弧度，但题目要求角度制，所以写$80^\circ$）。
(2) 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，根据等边三角形的性质，弦AB与两条半径构成的三角形是等边三角形。
因此，弦AB所对的圆心角为等边三角形的内角，即$60^\circ$（或写成$\frac{\pi}{3}$弧度，但题目要求角度制，所以写$60^\circ$）。
(3) 圆的一条弦分圆为3:6两部分，意味着弦所对的两条弧的度数之比为3:6，即1:2。
由于一个圆的度数总和为$360^\circ$，所以弦所对的劣弧的度数为$\frac{1}{3} × 360^\circ = 120^\circ$。
根据圆心角与弧的关系，劣弧所对的圆心角等于劣弧的度数，即$120^\circ$。
【答案】：
(1) $80^\circ$
(2) $60^\circ$
(3) $120^\circ$

5. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,∠B= 36°,以点C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点E. 则弧DE所对的圆心角的度数为____.

18°

答案： 解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=54°.
∵CA=CD，
∴△CAD为等腰三角形，∠CDA=∠A=54°.
∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=72°.
∵∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=18°.
即弧DE所对的圆心角的度数为18°.
18°

6. 如图,AB、CD是⊙O的两条弦,AB= CD. 求证：∠AOC= ∠BOD.

答案： 【解析】：本题考查圆的弦与圆心角的关系。根据圆的性质，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等。题目中给出AB=CD，因此可以通过这一性质证明∠AOC=∠BOD。
【答案】：证明：
∵AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，
∴$\stackrel\frown{AB}$=$\stackrel\frown{CD}$，
∴∠AOB=∠COD，
∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC,
∴∠AOC=∠BOD。

7. 如图,A、B是⊙O上的两点,∠AOB= 120°,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,求证：四边形OACB是菱形.

答案： 【解析】：本题考查了菱形的判定和圆的弧、弦、角的关系。我们需要证明四边形$OACB$的四条边相等。首先，根据圆的性质，同弧所对的圆心角相等，且等弧对等弦。由于$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，我们可以得出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，从而$AC=BC$。接着，由于$\angle AOB=120^\circ$，且$OA=OB$（因为$OA$和$OB$都是半径），我们可以利用等腰三角形的性质得出$\angle OAB=\angle OBA=30^\circ$。又因为$\angle AOC=\angle BOC=60^\circ$（因为$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\angle AOC$和$\angle BOC$都是$\angle AOB$的一半），我们可以得出$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，从而$OA=AC=BC=OB$。最后，由于四边形$OACB$的四条边都相等，所以四边形$OACB$是菱形。
【答案】：证明：
∵$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$AC=BC$，
∵$\angle AOB=120^\circ$，$OA=OB$，
∴$\angle OAB=\angle OBA=30^\circ$，
∵$\angle AOC=\angle BOC=60^\circ$，$OA=OC=OB$，
∴$\triangle AOC$和$\triangle BOC$都是等边三角形，
∴$OA=AC=BC=OB$，
∴四边形$OACB$是菱形。