《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0,b^{2}-4ac≥0)$的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,利用这个公式解一元二次方程的方法叫作公式法.
2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤是:(1) 把方程化为一般式$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$；(2) 求出判别式$b^{2}-4ac$的值；(3) 若$b^{2}-4ac\geq0$,则将$a$、$b$、$c$的值代入求根公式,求得方程的解；若$b^{2}-4ac＜0$,则这个方程没有实数解.

答案： 1. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；公式法
2.
(1)$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$；
(2)判别式$b^{2}-4ac$；
(3)$b^{2}-4ac\geq0$；$b^{2}-4ac＜0$

1. 用公式法解方程$x^{2}-2= -3x$时,$a$、$b$、$c$的值依次是 (B)
A.$0$,$-2$,$-3$
B.$1$,$3$,$-2$
C.$1$,$-3$,$-2$
D.$1$,$-2$,$-3$

答案： 解：将方程化为一般形式：$x^{2}+3x-2=0$，则$a=1$，$b=3$，$c=-2$。
答案：B

2. 用公式法解方程$\sqrt {2}x^{2}+4\sqrt {3}x= 2\sqrt {2}$,其中求得$b^{2}-4ac$的值是 (D)
A.$16$
B.$\pm 4$
C.$32$
D.$64$

答案： 解：将方程化为一般形式：$\sqrt{2}x^{2} + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2} = 0$
其中$a = \sqrt{2}$，$b = 4\sqrt{3}$，$c = -2\sqrt{2}$
$b^{2}-4ac=(4\sqrt{3})^{2}-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})$
$=16×3 + 8×(\sqrt{2}×\sqrt{2})$
$=48 + 8×2$
$=48 + 16$
$=64$
D

3. 下列关于$x$的方程有实数根的是 (C)
A.$x^{2}-x+1= 0$
B.$x^{2}+x+1= 0$
C.$(x-1)(x+2)= 0$
D.$(x-1)^{2}+1= 0$

答案： 【解析】：
本题考察的是一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
A. 对于方程 $x^2 - x + 1 = 0$，其判别式为 $\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，因此没有实数根。
B. 对于方程 $x^2 + x + 1 = 0$，其判别式为 $\Delta = 1^2 - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，因此没有实数根。
C. 对于方程 $(x-1)(x+2) = 0$，这是一个已经因式分解的方程，可以直接得出其根为 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = -2$，因此有实数根。
D. 对于方程 $(x-1)^2 + 1 = 0$，移项得 $(x-1)^2 = -1$。由于平方数不能为负数，因此该方程没有实数根。
综上所述，只有选项C的方程有实数根。
【答案】：
C

4. 若等腰三角形的边长是方程$x^{2}-3x+2= 0$的两根,则它的周长为5.

答案： 【解析】：
首先，我们需要解方程$x^{2}-3x+2= 0$以找出等腰三角形的可能边长。
这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者使用求根公式来解。
因式分解得：$(x-1)(x-2) = 0$，
所以，方程的解为$x_1 = 1$和$x_2 = 2$。
接下来，我们需要考虑这两个解能否构成等腰三角形的边长。
当腰长为$1$，底边长为$2$时，由于$1+1=2$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），所以不能构成三角形。
当腰长为$2$，底边长为$1$时，满足三角形的三边关系（$2+2＞1$，$2+1＞2$，$1+2＞2$），因此可以构成等腰三角形。
此时，等腰三角形的周长为$2+2+1=5$。
【答案】：
$5$

5. 若$\frac {1}{2}x^{2}+1与4x^{2}-3x-5$互为相反数,则$x$的值为$x_{1} = \frac{4}{3}$，$x_{2} = - \frac{2}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的解法，特别是当两个多项式互为相反数时，它们的和为0的性质。
首先，根据题目条件，我们有：
$\frac{1}{2}x^{2} + 1 + 4x^{2} - 3x - 5 = 0$，
合并同类项，得到：
$\frac{9}{2}x^{2} - 3x - 4 = 0$，
为了解这个一元二次方程，我们可以使用公式法。
首先计算判别式$\Delta$：
$\Delta = (-3)^{2} - 4 × \frac{9}{2} × (-4) = 9 + 72 = 81$，
由于$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数解。
接下来，使用一元二次方程的求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
代入$a = \frac{9}{2}$，$b = -3$，$\Delta = 81$，得到：
$x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{9}$，
$x = \frac{3 \pm 9}{9}$，
因此，解得：
$x_{1} = \frac{4}{3}, \quad x_{2} = - \frac{2}{3}$。
【答案】：
$x_{1} = \frac{4}{3}$，$x_{2} = - \frac{2}{3}$。

6. 用公式法解下列方程.
(1) $x^{2}+x-1= 0$；
(2) $2x^{2}+5= 11x$；
(3) $x(2x-5)= 4x-10$；
(4) $(2x+1)(x-3)= 4$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法，特别是公式法的应用。
公式法解一元二次方程的一般步骤是：首先将方程化为标准形式$ax^{2} + bx + c = 0$，然后确定系数$a$、$b$、$c$，最后利用求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$求解。
(1) 对于方程$x^{2} + x - 1 = 0$，
$a = 1, b = 1, c = -1$，
判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 × 1 × (-1) = 5 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，
利用求根公式，解得：
$x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，
$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$；
(2) 对于方程$2x^{2} + 5 = 11x$，
移项得$2x^{2} - 11x + 5 = 0$，
$a = 2, b = -11, c = 5$，
判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = (-11)^{2} - 4 × 2 × 5 = 81 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，
利用求根公式，解得：
$x_{1} = \frac{11 + \sqrt{81}}{4} = 5$，
$x_{2} = \frac{11 - \sqrt{81}}{4} = \frac{1}{2}$；
(3) 对于方程$x(2x - 5) = 4x - 10$，
展开并整理得$2x^{2} - 9x + 10 = 0$，
$a = 2, b = -9, c = 10$，
判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = (-9)^{2} - 4 × 2 × 10 = 1 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，
利用求根公式，解得：
$x_{1} = \frac{9 + \sqrt{1}}{4} = \frac{5}{2}$，
$x_{2} = \frac{9 - \sqrt{1}}{4} = 2$；
(4) 对于方程$(2x + 1)(x - 3) = 4$，
展开并整理得$2x^{2} - 5x - 7 = 0$，
$a = 2, b = -5, c = -7$，
判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 × 2 × (-7) = 81 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，
利用求根公式，解得：
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7}{2}$，
$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{81}}{4} = -1$；
【答案】：
(1) $x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_{1} = 5$，$x_{2} = \frac{1}{2}$；
(3) $x_{1} = \frac{5}{2}$，$x_{2} = 2$；
(4) $x_{1} = \frac{7}{2}$，$x_{2} = -1$。

7. 请阅读下列材料:
我们规定一种运算:$\begin{vmatrix} a&c\\ b&d\end{vmatrix} = ad-bc$,例如:$\begin{vmatrix} 2&3\\ 4&5\end{vmatrix} = 2×5-3×4= 10-12= -2$. 按照这种运算的规定,请解答下列问题:
(1) 计算:$\begin{vmatrix} -1&2\\ -2&0.5\end{vmatrix} $；
(2) 当$x$取何值时,$\begin{vmatrix} x&0.5-x\\ 1&2x\end{vmatrix} = 0$?

答案： 【解析】：
(1) 根据题目中给出的新定义运算规则，我们需要计算 $\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 0.5 \end{vmatrix}$。
按照定义，该运算的结果为 $(-1) × 0.5 - 2 × (-2)$。
先计算乘法：
$(-1) × 0.5 = -0.5$
$2 × (-2) = -4$
再进行减法：
$-0.5 - (-4) = -0.5 + 4 = 3.5$（或写作 $\frac{7}{2}$，但题目要求填写数值，所以使用小数或分数形式均可，这里选择小数形式）
或者直接进行运算：
$(-1) × 0.5 - 2 × (-2) = -0.5 + 4 = 3.5$
(2) 对于 $\begin{vmatrix} x & 0.5-x \\ 1 & 2x \end{vmatrix} = 0$，
根据定义，我们需要计算 $x × 2x - 1 × (0.5 - x)$ 并令其等于0。
展开得：
$2x^2 - 0.5 + x = 0$
整理为标准形式的一元二次方程：
$2x^2 + x - 0.5 = 0$
为了求解这个一元二次方程，我们可以使用求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
其中，$a = 2, b = 1, c = -0.5$。
代入求根公式得：
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 × 2 × (-0.5)}}{2 × 2}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$
【答案】：
(1) $3.5$
(2) $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}, x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$