《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 各边相等,各角也相等的多边形叫作正多边形.

答案： 【解析】：
本题考查正多边形的定义。正多边形是一个多边形，其中所有的边都相等，所有的内角也都相等。根据这个定义，我们可以填写题目中的空白部分。
【答案】：
各边相等，各角也相等

2. 一般地,只要用量角器把一个圆$n(n≥3)$等分,依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正$n$边形,这个圆是这个正$n$边形的外接圆. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心,外接圆的半径叫作正多边形的半径.

答案： 【解析】：
本题考查正多边形与圆的基本概念和性质。题目中明确提到了通过等分圆来得到内接正多边形，以及正多边形与外接圆之间的关系。根据正多边形与圆的定义和性质，我们可以知道，当一个圆被等分并依次连接各等分点，得到的正多边形与该圆是内接的，即该圆是正多边形的外接圆。同时，正多边形的外接圆的圆心被称为正多边形的中心，外接圆的半径被称为正多边形的半径。
【答案】：
外接圆；中心；半径。

1. 若正方形的外接圆半径等于2,则这个正方形的边长为 (A)
A.$2\sqrt {2}$
B.2
C.$\sqrt {2}$
D.4

答案： 【解析】：
本题主要考查正多边形与圆的关系，特别是正方形与其外接圆的关系。
由于正方形的对角线等于外接圆的直径，可以通过外接圆的半径求出正方形的对角线长度，再通过对角线与边长的关系求出正方形的边长。
设正方形的边长为$a$，外接圆的半径为$r$。
根据题目条件，外接圆的半径$r=2$。
正方形的对角线长度$d$可以通过外接圆的直径求出，即$d=2r=4$。
正方形的对角线长度$d$与边长$a$的关系为$d=a\sqrt{2}$。
将$d=4$代入$d=a\sqrt{2}$，解得$a=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
【答案】：
A.$2\sqrt {2}$。

2. 如图,正六边形$ABCDEF$的半径为6,则它的面积为 (B)
A.$27\sqrt {3}$
B.$54\sqrt {3}$
C.108
D.$36π$

答案： 解：连接正六边形ABCDEF的中心O与顶点A、B，形成△OAB。
∵正六边形的半径为6，
∴OA=OB=6，中心角∠AOB=360°÷6=60°。
∴△OAB是等边三角形，AB=OA=6。
过O作OH⊥AB于H，则AH=HB=3。
在Rt△OAH中，OH=$\sqrt{OA^2 - AH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$。
S_△OAB=$\frac{1}{2}×AB×OH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
正六边形面积=6×S_△OAB=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}。
答案：B

3. 如图,已知正五边形$ABCDE内接于\odot O$,连接$BD$,则$∠ABD$的度数为 (C)
A.$60^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$144^{\circ }$

答案： 【解析】：
首先，由于正五边形的每个内角都相等，我们可以通过公式计算出每个内角的度数。
正$n$边形的内角公式为：$\text{内角} = \frac{(n-2) × 180^{\circ}}{n}$。
将$n=5$代入公式，得到正五边形的每个内角为：
$\text{内角} = \frac{(5-2) × 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$。
$\because$正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
根据正多边形与圆的关系，我们知道正多边形的顶点都在圆上，因此$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角都是正五边形的一个内角，即$108^{\circ}$所对的圆周角，且这两段弧相等，
$\therefore \angle ADB=\angle CDB$（等弧所对的圆周角相等），
$\because \angle ADB+\angle CDB+\angle ADC=180^{\circ}$，$\angle ADC=108^{\circ}$（正五边形的内角），
$\therefore \angle ADB=\frac{1}{2} × (180^{\circ}-108^{\circ})=36^{\circ}$，
$\therefore$在$\triangle ABD$中，$\angle ABD=180^{\circ}-36^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}\text{(三角形内角和为} 180^{\circ}\text{)}$，
或者根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
$\therefore \angle ABD=\frac{1}{2} × 144^{\circ}=72^{\circ}$（圆心角$\angle AOD=144^{\circ}$为正五边形的一个中心角，即$360^{\circ} ÷ 5 × 2=144^{\circ}$）。
【答案】：C

4. 如图,用若干个全等的正五边形排成圆环状,图中所示的是其中3个正五边形的位置要完成这一圆环排列,共需要正五边形的个数是______10.

答案： 【解析】：
本题主要考查正多边形与圆的关系，以及多边形内角和公式的应用，正$n$边形的内角和为$(n - 2)×180^{\circ}$，那么正五边形的内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，因为正五边形的五个内角都相等，所以它的每个内角都为$540^{\circ}÷5 = 108^{\circ}$。
要完成圆环排列，需要求出在圆环连接点处，围绕一点的所有正五边形内角之和为$360^{\circ}$时正五边形的个数，也就是求$360^{\circ}$包含多少个$(180^{\circ}-108^{\circ})$，这里$180^{\circ}-108^{\circ}$是在圆环连接点处，相邻两个正五边形拼接时所形成的夹角（通过平角$180^{\circ}$减去正五边形内角$108^{\circ}$得到），最后根据这个夹角的个数确定正五边形的总个数。
【答案】：
解：正五边形的内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，
则每个内角为$540^{\circ}÷5 = 108^{\circ}$。
在圆环连接点处，相邻两个正五边形拼接形成的夹角为$180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$。
要完成圆环排列，围绕一点的所有正五边形内角之和为$360^{\circ}$，
所以正五边形的个数为$360^{\circ}÷72^{\circ}=10$（个）。
故答案为$10$。

5. 如图,$\odot O与正五边形ABCDE的边AB$、$DE分别相切于点B$、$D$,则劣弧$\overset{\frown}{BD}所对的圆心角∠BOD$的度数为______144°.

答案： 解：
∵ABCDE是正五边形，
∴每个内角为$\frac{(5-2)×180^\circ}{5}=108^\circ$，即$\angle ABC=\angle CDE=108^\circ$。
∵$\odot O$与AB相切于B，与DE相切于D，
∴$OB\perp AB$，$OD\perp DE$，即$\angle OBA=\angle ODE=90^\circ$。
正五边形内角和为$540^\circ$，则$\angle BCD=108^\circ$。
在五边形OBCDE中，内角和为$(5-2)×180^\circ=540^\circ$，
$\angle BOD=540^\circ-(\angle OBC+\angle BCD+\angle CDE+\angle ODE)$
$=540^\circ-(180^\circ-108^\circ+108^\circ+108^\circ+90^\circ)=144^\circ$。
144°

6. 如图,正方形$ABCD内接于\odot O$,$M为\overset{\frown}{CD}$的中点,连接$AM$、$BM$.
(1)求证：$\overset{\frown}{AM}= \overset{\frown}{BM}$；
(2)求$\overset{\frown}{AM}$的度数.

答案：
(1)证明：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AD=BC，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∵M为$\overset{\frown}{CD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CM}$，
即$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$；
(2)解：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}=\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$，
∵M为$\overset{\frown}{CD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CD}=45^\circ$，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DM}=90^\circ+45^\circ=135^\circ$。

7. 如图,$\odot O的周长等于8πcm$,正六边形$ABCDEF内接于\odot O$.
(1)求圆心$O到AF$的距离；
(2)求正六边形$ABCDEF$的面积.

答案： 【解析】：
本题可根据圆的周长公式求出半径，再结合正六边形的性质来求解。
（1）求圆心$O$到$AF$的距离：
首先，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$（其中$C$为周长，$r$为半径），已知$\odot O$的周长等于$8\pi cm$，可得$2\pi r = 8\pi$，解得$r = 4cm$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，连接$OA$、$OF$，过$O$作$OG\perp AF$于$G$。
由于正六边形的中心角为$\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$，且$OA = OF = r = 4cm$，所以$\triangle OAF$是等边三角形。
在等边$\triangle OAF$中，$OG\perp AF$，则$G$为$AF$中点，$\angle AOG = \frac{1}{2}\angle AOF = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOG$中，$OA = 4cm$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$AG = \frac{1}{2}OA = 2cm$。
再根据勾股定理$OG = \sqrt{OA^{2}-AG^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}cm$，即圆心$O$到$AF$的距离为$2\sqrt{3}cm$。
（2）求正六边形$ABCDEF$的面积：
由（1）可知$AF = 2AG = 4cm$，$OG = 2\sqrt{3}cm$。
正六边形$ABCDEF$可分割成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的底为$AF = 4cm$，高为$OG = 2\sqrt{3}cm$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得一个等边三角形的面积为$\frac{1}{2}× 4× 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}cm^{2}$。
那么正六边形$ABCDEF$的面积为$6× 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}cm^{2}$。
【答案】：
(1)圆心$O$到$AF$的距离为$2\sqrt{3}cm$；
(2)正六边形$ABCDEF$的面积为$24\sqrt{3}cm^{2}$。