《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

3. 关于x的一元二次方程$(m-1)x^{2}+2x-2= 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 (C)
A.$m＜\frac {1}{2}$
B.$m＞\frac {1}{2}$
C.$m＞\frac {1}{2}且m≠1$
D.$m≠1$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的定义。
首先，一元二次方程 $(m-1)x^{2}+2x-2= 0$ 有两个不相等的实数根，需要满足两个条件：
二次项系数 $m-1 \neq 0$，即 $m \neq 1$，以确保方程是一元二次方程。
根的判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac ＞ 0$，将方程的系数代入，得 $\Delta = 2^{2} - 4(m-1)(-2) ＞ 0$。
解这个不等式，得到 $m ＞ \frac{1}{2}$。
综合以上两个条件，得出 $m ＞ \frac{1}{2}$ 且 $m \neq 1$。
【答案】：
C. $m＞\frac {1}{2}$且$m≠1$。

4. 若一元二次方程$x^{2}-ax+b= 0$配方后为$(x-4)^{2}= 3$,则$a=$8,$b=$13.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的配方方法及方程系数的求解。
首先，我们将给定的配方后的方程 $(x-4)^{2} = 3$ 展开，得到 $x^{2} - 8x + 16 = 3$。
然后，我们将这个方程整理成一般形式的一元二次方程 $x^{2} - 8x + 13 = 0$。
接着，我们将这个方程与原方程 $x^{2} - ax + b = 0$ 进行比较。
通过比较，我们可以得出 $a = 8$，$b = 13$。
【答案】：
$a = 8$，$b = 13$。

5. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+(a-1)x+a^{2}= 0$的两个根互为倒数,则$a= $-1.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $Ax^{2} + Bx + C = 0$，若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$，
$x_1 × x_2 = \frac{C}{A}$，
对于给定的方程 $x^{2} + (a-1)x + a^{2} = 0$，其系数 $A = 1, B = a-1, C = a^{2}$。
因为两个根互为倒数，即 $x_1 × x_2 = 1$。
代入 $x_1 × x_2 = \frac{C}{A}$，得到：
$a^{2} = 1$，
解这个方程，得到 $a = 1$ 或 $a = -1$。
但是，当 $a = 1$ 时，原方程变为 $x^{2} + 1 = 0$，这个方程没有实数解，因此 $a$ 不能取 $1$。
所以，$a = -1$。
【答案】：
$-1$

6. 解下列方程.
(1)$(x+1)^{2}= \frac {1}{4}$;
(2)$(y+2)^{2}= (3y-1)^{2}$;
(3)$2x(x+2)+1= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法以及公式法。
(1) 对于方程 $(x+1)^{2}= \frac {1}{4}$，可以直接开平方进行求解。
(2) 对于方程 $(y+2)^{2}= (3y-1)^{2}$，可以先将方程两边同时开平方，然后移项进行因式分解，最后求解。
(3) 对于方程 $2x(x+2)+1= 0$，需要先将其化为一元二次方程的一般形式，然后利用公式法进行求解。
【答案】：
(1) 解：
由 $(x+1)^{2}= \frac {1}{4}$，开平方得 $x+1 = \pm \frac{1}{2}$，
进一步解得 $x_1 = -\frac{1}{2}$， $x_2 = -\frac{3}{2}$。
(2) 解：
由 $(y+2)^{2}= (3y-1)^{2}$，开平方得 $y+2 = \pm (3y-1)$，
分两种情况讨论：
当 $y+2 = 3y-1$ 时，解得 $y = \frac{3}{2}$；
当 $y+2 = -(3y-1)$ 时，解得 $y = -\frac{1}{4}$。
所以 $y_1 = \frac{3}{2}$， $y_2 = -\frac{1}{4}$。
(3) 解：
由 $2x(x+2)+1= 0$，展开得 $2x^2 + 4x + 1 = 0$，
其中 $a = 2$，$b = 4$，$c = 1$，
计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 × 2 × 1 = 8 ＞ 0$，
所以方程有两个不相等的实数根，
根据公式法，解得 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以 $x_1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$， $x_2 = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。

7. 若p、q是一元二次方程$x^{2}+3x-9= 0$的两个根,则$p^{2}+2p-q$的值是 (C)
A.6
B.9
C.12
D.13

答案： 解：
∵p是方程$x^{2}+3x - 9=0$的根，
∴$p^{2}+3p - 9=0$，即$p^{2}=-3p + 9$。
∵p、q是方程$x^{2}+3x - 9=0$的两个根，
∴由根与系数的关系得$p + q=-3$。
则$p^{2}+2p - q=(-3p + 9)+2p - q=-p - q + 9=-(p + q)+9=-(-3)+9=3 + 9=12$。
答案：C

8. 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+x-b= 0$的一根为-1,则$a-b$的值是1.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
已知方程 $ax^{2} + x - b = 0$ 的一根为 -1，根据一元二次方程的定义，将 $x = -1$ 代入方程，应满足方程。
即：
$a(-1)^{2} + (-1) - b = 0$
$a - 1 - b = 0$
从上式可以解得：
$a - b = 1$
【答案】：
1

9. 已知关于x的一元二次方程$kx^{2}-(4k+1)x+3k+3= 0$(k是整数).
(1) 求证:该方程有两个不相等的实数根.
(2) 若此方程的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,设$y= x_{2}-x_{1}$,判断y是否为变量k的函数,如果是,请写出函数表达式;若不是,请说明理由.

答案：
(1)证明：
∵方程是一元二次方程，
∴$k≠0$，
$\Delta =[-(4k+1)]^{2}-4k(3k+3)=16k^{2}+8k+1-12k^{2}-12k=4k^{2}-4k+1=(2k-1)^{2}$，
∵k是整数，
∴$2k-1≠0$，
∴$\Delta =(2k-1)^{2}＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根.
(2)解：$y$是变量$k$的函数.
由求根公式得$x=\frac{(4k+1)\pm\sqrt{(2k-1)^{2}}}{2k}=\frac{4k+1\pm|2k-1|}{2k}$，
∵k是整数且$k≠0$，
当$k\geq1$时，$2k-1＞0$，$x=\frac{4k+1\pm(2k-1)}{2k}$，
$x_{1}=\frac{4k+1-(2k-1)}{2k}=\frac{2k+2}{2k}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$，
$x_{2}=\frac{4k+1+(2k-1)}{2k}=\frac{6k}{2k}=3$，
∵$k\geq1$且k是整数，
∴$\frac{1}{k}\leq1$，$x_{1}=1+\frac{1}{k}\leq2＜3=x_{2}$，
$y=x_{2}-x_{1}=3-(1+\frac{1}{k})=2-\frac{1}{k}$；
当$k\leq-1$时，$2k-1＜0$，$x=\frac{4k+1\pm(1-2k)}{2k}$，
$x_{1}=\frac{4k+1-(1-2k)}{2k}=\frac{6k}{2k}=3$，
$x_{2}=\frac{4k+1+(1-2k)}{2k}=\frac{2k+2}{2k}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$，
∵$k\leq-1$且k是整数，
∴$-1\leq\frac{1}{k}＜0$，$x_{2}=1+\frac{1}{k}\in[0,1)$，$x_{1}=3＞x_{2}$，与$x_{1}＜x_{2}$矛盾，
综上，$y=2-\frac{1}{k}$（k是整数且$k\geq1$），
∴$y$是变量$k$的函数，函数表达式为$y=2-\frac{1}{k}$.

10. 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$(a、b、c为常数,且$a≠0$),此方程的解为$x_{1}= 2,x_{2}= 3$.则关于x的一元二次方程$9ax^{2}-3bx+c= 0$的解为$x_{1}=-\dfrac{2}{3}$，$x_{2}=-1$.

答案： 解：因为关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=3$，所以$a(x - 2)(x - 3)=0$，展开得$ax^{2}-5ax + 6a=0$，则$b=-5a$，$c=6a$。
将$b=-5a$，$c=6a$代入方程$9ax^{2}-3bx + c=0$，得$9ax^{2}-3×(-5a)x + 6a=0$，化简为$9ax^{2}+15ax + 6a=0$（$a≠0$），两边同时除以$3a$得$3x^{2}+5x + 2=0$，因式分解为$(3x + 2)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=-\dfrac{2}{3}$，$x_{2}=-1$。
$x_{1}=-\dfrac{2}{3}$，$x_{2}=-1$

11. 材料1:若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两个根为x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}$.
材料2:已知一元二次方程$x^{2}-x-1= 0$的两个实数根分别为m、n,求$m^{2}n+mn^{2}$的值.
解:∵ 一元二次方程$x^{2}-x-1= 0$的两个实数根分别为m、n,∴$m+n= 1,mn= -1$,则$m^{2}n+mn^{2}= mn(m+n)= -1×1= -1$. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1) 材料理解:一元二次方程$2x^{2}-3x-1= 0的两个根为x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $$\frac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}= $$-\frac{1}{2}$.
(2) 类比应用:已知一元二次方程$2x^{2}-3x-1= 0$的两根分别为m、n,求$\frac {n}{m}+\frac {m}{n}$的值.解：∵一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两根分别为m、n，
∴$m+n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$，
则$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(3) 思维拓展:已知实数s、t满足$2s^{2}-3s-1= 0,2t^{2}-3t-1= 0$,且$s≠t$,求$\frac {1}{s}-\frac {1}{t}$的值.解：∵实数s、t满足$2s^{2}-3s-1=0$，$2t^{2}-3t-1=0$，且$s≠t$，
∴s、t是一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两个根，
∴$s+t=\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$，
∴$(t-s)^{2}=(s+t)^{2}-4st=(\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$，
∴$t-s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$，
则$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\mp\sqrt{17}$，即$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\pm\sqrt{17}$

答案：
(1) $\frac{3}{2}$；$-\frac{1}{2}$
(2) 解：
∵一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两根分别为m、n，
∴$m+n=\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$，
则$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}+1}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(3) 解：
∵实数s、t满足$2s^{2}-3s-1=0$，$2t^{2}-3t-1=0$，且$s≠t$，
∴s、t是一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两个根，
∴$s+t=\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$，
∴$(t-s)^{2}=(s+t)^{2}-4st=(\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$，
∴$t-s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$，
则$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\mp\sqrt{17}$，即$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\pm\sqrt{17}$