《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 解方程$(x+m)^{2}= n$,正确的结论是 (B)
A.有两个解$x= \pm \sqrt {n}$
B.当$n≥0$时,有两个解$x= \pm \sqrt {n}-m$
C.当$n≥0$时,有两个解$x= \pm \sqrt {n-m}$
D.当$n≤0$时,无实数解

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法，特别是直接开平方法。
对于形如$(x+m)^{2}= n$的方程，我们需要先判断$n$的取值范围，再对方程进行开方求解。
当$n \geq 0$时，方程有两个实数解，可以通过直接开方得到解的形式。
当$n ＜ 0$时，由于平方数不能为负数，所以方程无实数解。
根据这些知识点，我们可以对选项进行逐一判断。
A选项：没有考虑$n$的取值范围，直接给出了两个解，这是不正确的。
B选项：当$n \geq 0$时，方程可以开方得到两个解，且解的形式与选项一致，这是正确的。
C选项：解的形式不正确，没有正确理解方程的开方过程。
D选项：当$n \leq 0$时，虽然$n=0$的情况下方程有一个重根，但题目中的表述是“无实数解”，这忽略了$n=0$的情况，因此这个选项的表述是不准确的，但由于题目询问的是正确的结论，且$n＜0$时确实无实数解，我们可以认为这个选项在核心意思上是正确的，但由于B选项已经给出了更全面的正确答案，所以D选项不是最佳答案。
综上所述，正确答案是B。
【答案】：
B

9. 对于符号“▽”,我们作如下定义:$a\nabla b= a^{2}+b^{2}-1$,如$4\nabla 5= 4^{2}+5^{2}-1= 16+25-1= 40$,因此,$(-1)\nabla (-2)= $4;若$3\nabla x= 12$,则$x= $±2.

答案： 【解析】：
本题主要考查对新定义的理解及一元二次方程的求解。
首先，我们需要理解题目中给出的新定义“▽”运算规则，即$a▽b = a^{2} + b^{2} - 1$。
对于$(-1)▽(-2)$，我们可以直接将-1和-2代入公式进行计算。
对于$3▽x = 12$，我们需要先将其转化为标准形式的一元二次方程，即$9 + x^{2} - 1 = 12$，然后求解这个方程。
【答案】：
解：
(1) 根据定义，我们有
$(-1)▽(-2) = (-1)^{2} + (-2)^{2} - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$
(2) 对于方程$3▽x = 12$，我们有
$9 + x^{2} - 1 = 12$
移项得：
$x^{2} = 4$
解得：
$x = \pm 2$
故答案为：4；$\pm 2$。

10. 若一元二次方程$ax^{2}= b(ab＞0)的两根分别为m+1与2m-4$.
(1) 求$m$的值; (2) 求$\frac {b}{a}$的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是通过给定的方程形式$ax^{2} = b$（其中$ab ＞ 0$）来求解未知数$m$以及比值$\frac{b}{a}$。
(1) 求$m$的值：
首先，我们将方程$ax^{2} = b$转化为标准形式$x^{2} = \frac{b}{a}$。
由于$ab ＞ 0$，所以$\frac{b}{a} ＞ 0$，这意味着方程有两个实数解，且这两个解互为相反数。
根据题目，这两个解分别为$m+1$和$2m-4$。
因此，我们有：
$m + 1 + 2m - 4 = 0$
解这个方程，我们得到：
$3m - 3 = 0$
$m = 1$
(2) 求$\frac{b}{a}$的值：
将$m=1$代入$m+1$和$2m-4$，我们得到方程的两个解分别为$2$和$-2$。
由于$x^{2} = \frac{b}{a}$，我们可以选择其中一个解（例如$2$）来求解$\frac{b}{a}$。
即：
$2^2 = \frac{b}{a}$
$\frac{b}{a} = 4$
【答案】：
(1) $m = 1$；
(2) $\frac{b}{a} = 4$。

11. 已知三角形的两边长是$4和6$,第三边的长是方程$(x-3)^{2}= 4$的根,则此三角形的周长为 (C)
A.$17$
B.$11$
C.$15$
D.$11或15$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法以及三角形三边关系的应用。
首先，我们需要解方程$(x-3)^{2}= 4$来找出第三边的可能长度。
解这个方程，我们得到两个$x_1 = 5$ 和 $x_2 = 1$。
接下来，我们需要利用三角形三边关系来判断哪个解是有效的。
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知的两边长度是4和6，所以我们需要检查两个解是否都满足这个条件。
对于 $x_1 = 5$，显然满足 $4 + 5 ＞ 6$，$6 + 5 ＞ 4$，$6 - 4 ＜ 5$，所以5是一个有效的解。
对于 $x_2 = 1$，不满足 $4 + 1 ＞ 6$，所以1不是一个有效的解。
因此，三角形的第三边长度是5，所以三角形的周长是 $4 + 6 + 5 = 15$。
【答案】：
C. $15$。

12. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-4x+4= 16-m$,请你选取一个适当的$m$的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.
(1) 你选取的$m$的值是7,并解这个方程;方程的解为$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 若这个方程能用直接开平方法求解,求$m$的取值范围.
$m \leq 16$

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是直接开平方法的应用。
(1) 对于方程 $x^{2} - 4x + 4 = 16 - m$，我们可以先将其化为完全平方的形式，即 $(x - 2)^{2} = 16 - m$。
为了使方程能用直接开平方法求解，我们需要有 $16 - m \geq 0$，这样方程右侧就是一个非负数，可以直接开方。
选取 $m = 7$ 作为示例（答案不唯一，只要满足 $16 - m \geq 0$ 即可），此时方程变为 $(x - 2)^{2} = 9$。
解这个方程，我们得到 $x - 2 = \pm 3$，即 $x_1 = 5$，$x_2 = -1$。
(2) 对于方程能用直接开平方法求解的 $m$ 的取值范围，我们已经有了不等式 $16 - m \geq 0$。
解这个不等式，我们得到 $m \leq 16$。
【答案】：
(1) $m = 7$（答案不唯一）；
方程的解为 $x_1 = 5$，$x_2 = -1$。
(2) $m$ 的取值范围是 $m \leq 16$。