《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

利用“树状图”可以直观地显示所有可能的结果,利用“树状图”列出所有可能的结果,必须做到既不重复,又不遗漏.

答案： 【解析】：
本题考查的是对“树状图”在等可能条件下的概率问题中的应用的理解。
“树状图”是一种图形化工具，用于表示某个事件可能发生的所有路径或结果。
在概率论中，树状图特别适用于表示一系列独立事件同时发生的所有可能组合。
为了准确地列出所有可能的结果，树状图的设计需要满足两个条件：
不重：即每种可能的结果只出现一次，没有重复。
不漏：即所有可能的结果都被包括在内，没有遗漏。
因此，利用“树状图”列出所有可能的结果时，必须做到既不重复，又不遗漏。
【答案】：
不重复；不遗漏。

1. 在一个不透明的袋子中,有2个白球和1个红球,它们只有颜色上的区别,从袋子中随机地摸出一个球记下颜色(不放回),再从余下的2个球中摸出1个球,则两次都摸到白球的概率是(C)
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{5}$

答案： 【解析】：
本题考察的是等可能条件下的概率计算。
首先，我们定义两个事件：
事件A：第一次摸到白球；
事件B：第二次摸到白球（在第一次摸到白球之后）。
计算事件A的概率：
袋子中总共有3个球，其中2个是白球，所以第一次摸到白球的概率为：
$P(A) = \frac{2}{3}$
计算事件A发生后，事件B的概率：
如果第一次摸到了白球，那么袋子里就剩下2个球，其中1个是白球。所以，在第一次摸到白球之后，第二次再摸到白球的概率为：
$P(B|A) = \frac{1}{2}$
其中，$P(B|A)$表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
使用乘法原理计算两次都摸到白球的概率：
$P(A \cap B) = P(A) × P(B|A) = \frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
【答案】：
C. $\frac{1}{3}$。

2. 3张外观相同的卡片标有数字1,2,3,从中一次抽出两张,这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是(C)
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{9}$

答案： 【解析】：
本题主要考察等可能条件下的概率计算。
首先，我们需要确定所有可能的抽取组合。从3张卡片（标有数字1，2，3）中一次抽出两张，可能的组合有：$(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)$，共有6种情况。
接着，我们需要确定满足条件（两张卡片上的数字都小于3）的组合。这些组合有：$(1,2)，(2,1)$，共2种情况。
因此，根据概率的定义，所求概率为满足条件的组合数与所有可能组合数的比值，即$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】：
C. $\frac{1}{3}$。

3. 某校八年级3班承担下周学校升旗任务,老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中,选择两名担任升旗手,则甲、乙两名同学同时被选中的概率是(A)
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 【解析】：
本题考查的是等可能条件下的概率计算。
首先，从甲、乙、丙、丁四名同学中选择两名担任升旗手，总的组合方式为从4名同学中选2名，即 $C_{4}^{2}$。
$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$
其中，甲、乙两名同学同时被选中的情况只有1种。
因此，甲、乙两名同学同时被选中的概率 $P$ 为：
$P = \frac{\text{甲、乙两名同学同时被选中的情况数}}{\text{从4名同学中选2名的总情况数}} = \frac{1}{6}$
【答案】：
A. $\frac{1}{6}$

4. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作,是中国传统文化的重要组成部分,若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是$\frac{1}{6}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查等可能条件下的概率计算。
首先，确定所有可能的抽取组合。
从四部著作中随机抽取两本，总的组合数为 $C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=6 × 2= 6$（种），但考虑到抽取是有顺序的（先抽哪一本后抽哪一本），
因此实际的等可能结果数为 $A_{4}^{2}=\frac{4!}{(4-2)!}=4 × 3=12$（种）。
接着，确定满足条件的结果数。
抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的情况有2种（先《论语》后《大学》，或先《大学》后《论语》）。
最后，根据概率的定义，计算所求概率。
$P(\text{抽取的两本恰好是《论语》和《大学》}) = \frac{\text{满足条件的结果数}}{\text{所有可能的等可能结果数}} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】：
$\frac{1}{6}$。

5. 小晴和小霞分别从A、B、C三个社区中随机选择一个参加某活动,两人恰好选择同一社区的概率是$\frac{1}{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是等可能条件下的概率计算。
小晴和小霞都可以从A、B、C三个社区中选择一个参加活动，所以两人选择社区的总的可能情况是$3 × 3 = 9$种。
考虑两人选择同一社区的情况，可以是都选择A，都选择B，都选择C，所以两人选择同一社区的情况有3种。
所以，两人恰好选择同一社区的概率是$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
【答案】：
$\frac{1}{3}$

6. 某小组有2名男生和2名女生,现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

答案： 【解析】：
本题考查的是等可能条件下的概率计算，具体是组合概率的一种。题目要求从2名男生和2名女生中随机选取2名学生，且这2名学生中恰好有1名男生和1名女生。我们可以使用列举法（画树状图或列表）来找出所有可能的组合，并计算满足条件的组合数与总组合数的比例，即所求的概率。
首先，我们给4名学生编号或命名以便区分：男生A、男生B、女生C、女生D。
接下来，我们列举所有可能的2人组合：
1. (A, B) 都是男生
2. (A, C) 1名男生、1名女生
3. (A, D) 1名男生、1名女生
4. (B, C) 1名男生、1名女生
5. (B, D) 1名男生、1名女生
6. (C, D) 都是女生
从上面的列举中，我们可以看到总共有6种可能的组合，其中4种是1名男生和1名女生的组合。
因此，所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率是4/6 = 2/3。
【答案】：
所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率是$\frac{2}{3}$。

7. 有四张正面分别标有数字0,1,2,3的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.
(1) 随机抽出一张卡片,则抽到数字“2”的概率为$\frac{1}{4}$；
(2) 随机抽出一张卡片,记下数字后放回并搅匀,再随机抽出一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求两次抽出的卡片上的数字之和是3的概率.
$\frac{1}{4}$

答案： 【解析】：
本题考查概率问题。
(1) 第一问考查简单概率。有四张卡片，每张卡片被抽到的机会是均等的。因此，抽到数字“2”的概率是抽到数字“2”的情况数与总情况数之比，即 $\frac{1}{4}$。
(2) 第二问考查通过列表法或树状图法求概率。首先，我们列出所有可能的抽取组合（因为是放回抽样，所以每次抽取都有4种可能）：
第一次抽取\第二次抽取 | 0 | 1 | 2 | 3
------------------------|------|------|------|------
0 |0, 0 |0, 1 |0, 2 |0, 3
1 |1, 0 |1, 1 |1, 2 |1, 3
2 |2, 0 |2, 1 |2, 2 |2, 3
3 |3, 0 |3, 1 |3, 2 |3, 3
总共有 $4 × 4 = 16$ 种可能的组合。
其中，两次抽出的卡片数字之和为3的组合有4种，即(0, 3), (3, 0), (1, 2), (2, 1)。
所以两次抽出的卡片上的数字之和是3的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】：
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{4}$