《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都经过正n边形的中心.一个正n边形如果有偶数条边,那么它又是中心对称图形,对称中心就是这个正多边形的中心.

答案： 【解析】：
本题考查正多边形的性质。正多边形具有轴对称性，其对称轴的数量与边数相等，且每条对称轴都经过正多边形的中心。同时，当正多边形的边数为偶数时，它还是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心。
【答案】：
一个正$n$边形共有$n$条对称轴，每条对称轴都经过正$n$边形的中心。一个正$n$边形如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
故答案为：$n$；中心；偶数。

1. 如图,点O是正五边形ABCDE的中心,则∠AOB的度数为 (C)
A.$65^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$78^{\circ}$

答案： 【解析】：
本题考查正多边形的性质，特别是正五边形的中心角计算。
正多边形的中心角是由正多边形的边数决定的，计算公式为$\frac{360^{\circ}}{n}$，其中$n$为正多边形的边数。
对于正五边形，其边数$n=5$，代入公式可得中心角为$\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$。
在正五边形中，点$O$为中心，则$\angle AOB$就是正五边形的一个中心角，所以$\angle AOB=72^{\circ}$。
【答案】：C

2. 若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作$a_{3}$、$a_{6}$,则$a_{3}:a_{6}$等于 (D)
A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$3:1$
D.$\sqrt{3}:1$

答案： 解：设圆的半径为$R$。
对于圆的内接正三角形，其中心角为$\frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$。过中心作一边的垂线，将正三角形的边分为两等份，形成一个直角三角形，其中斜边为半径$R$，一个锐角为$\frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$，对边为$\frac{a_{3}}{2}$。由正弦函数可得：$\sin 60^{\circ} = \frac{\frac{a_{3}}{2}}{R}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a_{3}}{2R}$，解得$a_{3} = \sqrt{3}R$。
对于圆的内接正六边形，其边长等于半径，即$a_{6} = R$。
所以$a_{3}:a_{6} = \sqrt{3}R:R = \sqrt{3}:1$。
答案：D

3. 每个外角都是$36^{\circ}$的正多边形的对称轴一共有 (D)
A.24条
B.12条
C.20条
D.10条

答案： 【解析】：
本题考查正多边形的性质，特别是正多边形外角与边数的关系，以及正多边形对称轴的数量规律。
首先，根据正多边形的外角和性质，所有外角之和为$360^\circ$。
给定每个外角都是$36^\circ$，可以通过$360^\circ$除以每个外角的度数来求出正多边形的边数：
$n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$。
其中$n$为正多边形的边数。
接下来，需要确定这个正十边形的对称轴数量。
正多边形的对称轴数量与其边数相等，即正$n$边形有$n$条对称轴。
因此，正十边形有$10$条对称轴。
【答案】：D

4. 如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形,则∠BOM= ____48°.

答案： 解：连接OA。
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOB=360°÷5=72°。
∵正三角形AMN内接于⊙O，
∴∠AOM=360°÷3=120°。
∵点M在劣弧BC上，
∴∠BOM=∠AOM - ∠AOB=120° - 72°=48°。
48°

5. 我们规定:一个正n边形(n为整数,$n≥4$)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫作这个正n边形的“特征值”,记为$λ_{n}$,那么$λ_{6}= $$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查正多边形与圆的关系以及正多边形的对角线性质。
首先，需要明确正六边形的最短对角线与最长对角线的定义。
在正六边形中，最短对角线是指连接一个顶点和其相邻的两个顶点中，隔一个顶点的那个顶点所形成的线段，即跨过一个顶点的对角线。
而最长对角线则是连接正六边形两个相对顶点的线段，即跨过三个顶点的对角线（也就是直径）。
由于正六边形的所有边都相等，所有内角都是$120^\circ$，
因此可以通过几何性质或者三角函数等方法求出最短对角线与最长对角线的长度比。
在正六边形中，设边长为$a$，
则最短对角线的长度可以通过余弦定理或者正六边形的几何性质得出为$\sqrt{3}a$（考虑一个由边长和两条对角线部分构成的等边三角形和一个$30^\circ-60^\circ-90^\circ$的直角三角形）。
最长对角线则是正六边形外接圆的直径，长度为$2a$（由正六边形的外接圆性质得出）。
因此，特征值$\lambda_{6}$就是最短对角线长度与最长对角线长度的比值，
即$\lambda_{6} = \frac{\sqrt{3}a}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】：
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

6. 已知⊙O和⊙O上的一点A.
(1) 作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2) 在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是⊙O内接正十二边形的一边.

答案：
(1) ①作⊙O的直径AC；②作AC的垂直平分线BD，交⊙O于B、D；③连接AB、BC、CD、DA，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形。④以A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于E、H；⑤分别以E、H为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于F、G；⑥连接AE、EF、FC、CG、GH、HA，六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形。
(2) 证明：连接OE、OD。
∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴∠AOD=360°/4=90°。
∵六边形AEFCGH是⊙O内接正六边形，
∴∠AOE=360°/6=60°。
∵点E在弧AD上，
∴∠DOE=∠AOD - ∠AOE=90° - 60°=30°。
∵360°/30°=12，
∴DE是⊙O内接正十二边形的一边。

7. 如图,G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点,且BG= CH,AG交BH于点P.
(1) 求证:△ABG≌△BCH;
(2) 求∠APH的度数.

答案：
(1)证明：
∵ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°，
∵BG=CH，
∴△ABG≌△BCH(SAS)。
(2)解：
∵△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠CBH，
∵∠BAG+∠AGB=180°-∠ABC=60°，
∴∠CBH+∠AGB=60°，
∵∠APH=∠BPG=180°-(∠CBH+∠AGB)=120°，
∴∠APH=120°。