《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

直径所对的圆周角是直角,$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径.

答案： 【解析】：
本题考查圆周角定理及其推论。
首先，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角。这是因为直径将圆分为两个相等的半圆，而半圆的弧对应的圆周角正好是直角。
其次，根据圆周角定理的推论，$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径。这是因为圆周角的大小与它所对的弦的长度有直接关系，当圆周角为$90^{\circ}$时，它所对的弦必然是直径。
【答案】：
直径所对的圆周角是直角；$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径。

1. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AC$是弦,$\angle BAC = 30^{\circ}$,则$\overset{\frown}{AC}$的度数为 (D)

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 【解析】：本题主要考查圆周角定理的应用。
已知AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
可知∠ACB是直角，即∠ACB = 90°。
又因为已知∠BAC = 30°，
根据三角形内角和为180°，
可以求出∠ABC的度数：
∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°。
由于∠AOC是圆心角，
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
所以∠AOC = 2∠ABC = 2 × 60° = 120°。
而∠AOC的度数就等于$\overset{\frown}{AC}$的度数。
【答案】：D

2. 如图,$BD是\odot O$的直径,点$A$、$C$在圆周上,$\angle CBD = 20^{\circ}$,则$\angle A$的度数为 (C)

A.$45^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理及其推论来求解$\angle A$的度数。
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：直径所对的圆周角是直角。
在本题中，$BD$是$\odot O$的直径，所以$\angle BCD = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$\angle CBD = 20^{\circ}$，在$\triangle BCD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可求出$\angle BDC$的度数：
$\angle BDC=180^{\circ}-\angle BCD - \angle CBD=180^{\circ}-90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$\angle A$和$\angle BDC$都是弧$BC$所对的圆周角，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可得$\angle A = \angle BDC = 70^{\circ}$。
【答案】：$C$。

3. 如图,$□ ABCD的顶点A$、$B$、$D在\odot O$上,顶点$C在\odot O的直径BE$上,$\angle ADC = 54^{\circ}$,连接$AE$,则$\angle AEB$的度数为 (A)
A.$36^{\circ}$
B.$46^{\circ}$
C.$27^{\circ}$
D.$63^{\circ}$

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，
∴∠ABC=∠ADC=54°，AD//BC。
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAD=180°-54°=126°。
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAD=∠BAE+∠DAE，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=126°-90°=36°。
∵∠AEB和∠ADE都对弧AB，
∴∠AEB=∠ADE=36°。
答案：A

4. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$CD$是直径,$\angle B = 40^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数为$50^{\circ}$.

答案： 【解析】：本题考查圆周角定理的应用。
根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，
所以$\angle CAD=90^{\circ}$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
所以$\angle D=\angle B=40^{\circ}$，
在直角三角形ACD中，利用直角三角形两锐角互余，
求出$\angle ACD$的度数。
【答案】：解：$\because CD$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle CAD=90^{\circ}$，
$\because \angle D=\angle B=40^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=90^{\circ}-\angle D=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
故答案为$50^{\circ}$。

5. 如图,$AB是\odot O$的直径,$D是\odot O$上的任意一点(不与点$A$、$B$重合),延长$BD到点C$,使$DC = BD$,判断$\triangle ABC$的形状：等腰三角形.

答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理的推论得到$AD$与$BC$的关系，再结合已知条件$DC = BD$，利用线段垂直平分线的判定定理来判断$\triangle ABC$的形状。
连接$AD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，即$AD\perp BC$。
又因为$DC = BD$，根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点$A$在线段$BC$的垂直平分线上，同时$D$是$BC$中点，所以$AD$是$BC$的垂直平分线，那么$AB = AC$。
根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
【答案】：等腰三角形

6. 如图,已知$\odot O为\triangle ABC$的外接圆,$CE是\odot O$的直径,$CD \perp AB$,$D$为垂足,求证：$\angle ACD = \angle BCE$.

答案： 【解析】：本题考查了圆周角定理的推论及直角三角形的性质。我们需要通过证明两个角相等来完成题目的证明，可利用圆周角定理的推论及直角三角形的性质来证明$\angle ACD=\angle BCE$。
【答案】：证明：
∵$CE$是$\odot O$的直径，
∴$\angle CBE = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$CD\perp AB$，
∴$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，
∵$\angle CAD$与$\angle CEB$所对的是同一段圆弧$\overset{\frown}{BC}$，
∴根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle CAD=\angle CEB$（同弧所对的圆周角相等）。
又
∵$\angle ADC=\angle CBE = 90^{\circ}$，
∴根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ACD$中，$\angle ACD=180^{\circ}-\angle ADC-\angle CAD$；在$\triangle BCE$中，$\angle BCE = 180^{\circ}-\angle CBE-\angle CEB$。
因为$\angle ADC=\angle CBE$，$\angle CAD=\angle CEB$，
所以$\angle ACD=\angle BCE$。

7. 如图,已知$\odot O为\triangle ABC$的外接圆,其中$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB长为10\ \text{cm}$,$AC长为6\ \text{cm}$,$\angle ACB平分线交\odot O于点D$,求$BC$、$AD和BD$的长.

答案： 【解析】：本题主要考察了圆周角定理的推论、角平分线的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质。
先利用勾股定理求出$BC$的长度。
再根据角平分线的性质及圆周角定理的推论得到$AD=BD$，进而证明$\triangle ADB$是等腰直角三角形。
最后在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理求出$BC$，在$Rt\triangle ADB$中，根据勾股定理求出$AD$、$BD$。
【答案】：解：$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$AB=10\ cm$，$AC=6\ cm$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(cm)$。
$\because CD$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle ACD=\angle BCD$。
$\because \angle ACD=\angle ABD$，$\angle BCD=\angle BAD$，
$\therefore \angle ABD=\angle BAD$。
$\therefore AD=BD$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$。
$\therefore \triangle ADB$为等腰直角三角形，
$\therefore AD^2+BD^2=AB^2$，
$\therefore AD=BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}× 10=5\sqrt{2}(cm)$。
综上所述，$BC$的长为$8\ cm$，$AD$、$BD$的长都为$5\sqrt{2}\ cm$。