《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 随着“二胎政策”出生的孩子越来越大,纷纷到了入学年龄,某校2024年学生数比2023年增长了8.5%,2025年新学期开学统计,该校学生数又比2024年增长了9.6%,设2024,2025这两年该校学生数平均增长率为x,则x满足的方程是(D)
A.$2x = 8.5\% + 9.6\%$
B.$2(1 + x) = (1 + 8.5\%)(1 + 9.6\%)$
C.$2(1 + x)^2 = (1 + 8.5\% + 9.6\%)$
D.$(1 + x)^2 = (1 + 8.5\%)(1 + 9.6\%)$

答案： 【解析】：
这个问题主要考察的是一元二次方程在实际问题中的应用，特别是涉及到平均增长率的计算。
首先，理解平均增长率的定义。如果设初始量为1（代表2023年的学生数），那么经过两年的平均增长率x后，2025年的学生数应该是$(1 + x)^{2}$。
另一方面，根据题目，2024年的学生数是2023年的$1 + 8.5\%$倍，2025年的学生数又是2024年的$1 + 9.6\%$倍。
所以，2025年的学生数也可以表示为$(1 + 8.5\%)(1 + 9.6\%)$。
由于这两种表示方式都代表2025年的学生数，所以它们应该是相等的。
因此，得到方程：$(1 + x)^{2} = (1 + 8.5\%)(1 + 9.6\%)$。
【答案】：
D.$(1 + x)^{2} = (1 + 8.5\%)(1 + 9.6\%)$。

9. 如图,某学校计划利用一片空地建一个矩形花圃,其中一面靠墙,这面墙的长度为12米,另三面用总长28米的篱笆材料围成,建造花圃的面积为80平方米. 这个花圃的长和宽分别为______.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用，通过设未知数，根据篱笆长度和花圃面积列出方程，进而求解得到花圃的长和宽，考查了运用数学知识解决实际问题的能力。
设垂直于墙的一边长为$x$米，因为篱笆总长$28$米，且一面靠墙，所以平行于墙的一边长为$(28 - 2x)$米。
已知花圃面积为$80$平方米，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$x(28 - 2x) = 80$。
整理方程得$x^{2} - 14x + 40 = 0$。
分解因式得$(x - 4)(x - 10) = 0$。
则$x - 4 = 0$或$x - 10 = 0$，解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = 10$。
当$x = 4$时，$28 - 2x = 28 - 2×4 = 20$米，但墙长$12$米，$20\gt12$，不符合题意，舍去。
当$x = 10$时，$28 - 2x = 28 - 2×10 = 8$米，$8\lt12$，符合题意。
【答案】：
这个花圃的长为$10$米，宽为$8$米。

10. 为了宣传垃圾分类,小王写了一封倡议书,用微博转发的方式传播,他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上,然后邀请x个好友转发,每个好友转发之后,又邀请x个互不相同的好友转发,已知经过两轮转发后,共有111个人参与了本次活动.
(1)x的值是多少？
(2)再经过几轮转发后,参与人数会超过10000人？

答案： 【分析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。
(1)首先，小王自己发表了倡议书，这是1个人。然后，他邀请了x个好友转发，这是x个人。接着，这x个好友又各自邀请了x个互不相同的好友转发，这是$x^2$个人。所以，经过两轮转发后，总人数是$1 + x + x^2$。根据题目，这个总人数等于111，所以我们可以通过列方程$1 + x + x^2 = 111$来求解x的值。
(2)对于第二问，我们需要找到一个轮数n，使得经过n轮转发后，总人数超过10000人。
我们知道，每一轮转发的人数都是前一轮的x倍，所以经过n轮转发后，总人数可以表示为$1 + x + x^2 +x^3 + \dots + x^n$。
这是一个等比数列，我们可以使用等比数列的求和公式，或者通过计算每一轮的转发人数来逐步累加，直到总人数超过10000人。
【解答】：
(1)根据题意，我们可以列出方程：
$1 + x + x^2 = 111$，
整理得：
$x^2 + x - 110 = 0$，
通过因式分解，我们得到：
$(x - 10)(x + 11) = 0$，
解得$x = 10$ 或 $x = -11$，
由于人数不能为负，所以$x = -11$不符合题意，舍去。
所以，$x$的值是10。
(2)我们知道，经过三轮转发后，参与人数为：
$1 + 10 + 100 + 1000 = 1111$（人），
这个人数还没有超过10000人。
但是，如果我们再经过一轮转发，即第四轮转发，那么新增的参与人数为$10 × 10 × 10 = 10000$（因为每一轮都是前一轮的10倍），所以总人数为：
$1111 + 10000 × = 11111$（人），
这个人数已经超过了10000人。
由于每一轮转发的人数都是前一轮的10倍，所以我们可以确定，再经过两轮转发（即从第三轮到第五轮，但第四轮结束时就已经超过10000人了，所以实际只需再经过两轮的开始部分），参与人数就会超过10000人。但为了更精确地回答问题，我们应该说再经过2轮转发（因为第四轮结束时就已经满足条件），所以答案是再经过2轮转发后，参与人数会超过10000人。

11. 如图,某建筑工程队在工地一边靠墙处(墙长42米)用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库,仓库总面积为440平方米. 为了方便取物,在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门. 则$AB= $11米.

答案： 【解析】：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程。
设$AB$的长为$x$米，
那么平行于墙的一边的长为$81-4x+3=84-4x$（因为有三个1米宽的缺口和一个1米宽的小门，所以总长度需要加上3米再减去一个$x$米用于小门，但小门已经算在缺口里，所以只需加3米即可，但考虑到方程设立的直观性，我们可以直接写成$84-4x$，表示除去四个$AB$边后的长度），
根据题意，仓库的总面积为$440$平方米，
所以我们有方程：$x(84 - 4x) = 440$，
展开并整理得：$x^{2} - 21x + 110 = 0$，
通过因式分解或者使用求根公式，我们可以得到：
$(x-10)(x-11)=0$，
解得：$x_{1} = 10$，$x_{2} = 11$。
当$x = 10$时，$84-4x=84-40=44＞42$（不符合题意，舍去）；
当$x = 11$时，$84-4x=84-44=40＜42$（符合题意）。
所以，$AB$的长为$11$米。
【答案】：$11$。

12. 阅读理解：给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍,则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形. 如图,矩形$A_1B_1C_1D_1$是矩形ABCD的“加倍”矩形.

解决问题：
(1)当矩形的长和宽分别为3,2时,它是否存在“加倍”矩形？若存在,求出“加倍”矩形的长与宽,若不存在,请说明理由；
(2)边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请作出判断,并说明理由.

答案： 【解析】：
(1)首先，根据矩形的性质，原矩形的周长为$2 × (3+2) = 10$，面积为$3 × 2 = 6$。
设“加倍”矩形的长为$x$，宽为$y$。
第一步，根据“加倍”矩形的定义，其周长应为原矩形的2倍，即$2(x+y) = 2 × 10 = 20$，化简得$x+y = 10$。
第二步，同样地，“加倍”矩形的面积应为原矩形的2倍，即$xy = 2 × 6 = 12$。
第三步，根据第一步和第二步的方程，可以列出方程组：
$\begin{cases}x+y = 10, \\xy = 12.\end{cases}$
第四步，解这个方程组，可以得到两组
$\begin{cases}x = 5 + \sqrt{13}, \\y = 5 - \sqrt{13}.\end{cases}$
或
$\begin{cases}x = 5 - \sqrt{13}, \\y = 5 + \sqrt{13}.\end{cases}$
由于长和宽没有特定的顺序，所以这两组解都是有效的。
综上，存在“加倍”矩形，其长与宽分别为$5 + \sqrt{13}$和$5 - \sqrt{13}$。
(2)对于边长为$a$的正方形，其周长为$4a$，面积为$a^2$。
设“加倍”正方形的边长为$b$，则根据“加倍”的定义，其周长应为$4b = 2 × 4a = 8a$，解得$b = 2a$。
同时，“加倍”正方形的面积应为$b^2 = 2a^2$。
然而，由于$b = 2a$，则$b^2 = (2a)^2 = 4a^2$，这明显大于$2a^2$。
因此，不存在一个正方形的周长和面积都是原正方形周长和面积的2倍。
所以，边长为$a$的正方形不存在“加倍”正方形。
【答案】：
(1)存在，“加倍”矩形的长与宽分别为$5 + \sqrt{13}$和$5 - \sqrt{13}$；
(2)边长为$a$的正方形不存在“加倍”正方形。