《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角=$\frac{360^\circ}{n}$.
2. $n^{\circ}的圆心角所对的弧长l的计算公式为l = $$\frac{n\pi r}{180}$.
3. 扇形的面积公式$S = $$\frac{n\pi r^2}{360}$=$\frac{1}{2}lr$.
4. 圆锥的侧面积$S = $$\pi rl$.

答案： 【解析】：
本题主要考察正多边形、圆、扇形和圆锥的基本性质及其相关的计算公式。
1. 正多边形的中心角是指正多边形每一条边所对的圆心角。由于一个正多边形有n条边，且这些边所对的圆心角之和为$360^\circ$，因此每一条边所对的圆心角（即中心角）为$\frac{360^\circ}{n}$。
2. 对于$n^\circ$的圆心角所对的弧长l，其计算公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中r为圆的半径。
3. 扇形的面积公式有两种表示方式：一种是通过圆心角和半径来计算，即$S = \frac{n\pi r^2}{360}$；另一种是通过弧长和半径来计算，即$S = \frac{1}{2}lr$。
4. 圆锥的侧面积公式为$S = \pi rl$，其中r为底面半径，l为母线长。
【答案】：
1. $\frac{360^\circ}{n}$
2. $\frac{n\pi r}{180}$
3. $\frac{n\pi r^2}{360}$；$\frac{1}{2}lr$
4. $\pi rl$

1. 如图,$\odot O$的半径为 3,$ABCD内接于\odot O$,连接$OB$、$OD$,若$\angle BOD= \angle BCD$,则$\overset{\frown}{BD}$的长为(C)

A.$\pi$
B.$\frac{3}{2}\pi$
C.$2\pi$
D.$3\pi$

答案： 解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD + ∠A = 180°。
∵∠BOD = 2∠A（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍），且∠BOD = ∠BCD，
∴∠BOD = 180° - ∠A = 180° - $\frac{1}{2}$∠BOD。
解得∠BOD = 120°。
∵⊙O的半径为3，
∴$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{120°×\pi×3}{180°}=2\pi$。
答案：C。

2. 如图,从一块直径为 2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为$90^{\circ}$的扇形.则此扇形的面积为(A)

A.$\frac{\pi}{2}m^{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}\pi m^{2}$
C.$\pi m^{2}$
D.$2\pi m^{2}$

答案： 解：圆形铁皮直径为2m，半径为1m。
连接BC，∠BAC=90°，BC为圆的直径，BC=2m。
在Rt△ABC中，AB=AC，AB²+AC²=BC²，2AB²=4，AB²=2，AB=√2m。
扇形面积S=90°/360°×π×(√2)²=1/4×π×2=π/2 m²。
答案：A

3. 如图,$\odot O的外切正六边形ABCDEF$的边长为 2,则图中阴影部分的面积为(A)
A.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$
B.$\sqrt{3}-\frac{3\pi}{2}$
C.$2-\frac{\pi}{3}$
D.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$

答案： 解：连接OA、OB，过O作OH⊥AB于H。
∵正六边形ABCDEF外切于⊙O，边长AB=2，
∴∠AOB=60°，OH为⊙O半径r，AB切⊙O于H，AH=HB=1。
在Rt△OAH中，tan∠AOH=AH/OH，∠AOH=30°，tan30°=1/r，r=1/tan30°=√3。
S△OAB=1/2×AB×OH=1/2×2×√3=√3。
S扇形OAB=60°/360°×πr²=1/6×π×(√3)²=π/2。
阴影部分面积=S△OAB - S扇形OAB=√3 - π/2。
答案：A

4. 半径为 2 的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$.

答案： 解：设圆的半径为$R = 2$。
对于圆内接正$n$边形，边心距$r = R\cos\frac{180^\circ}{n}$。
正三角形：$n = 3$，边心距$r_3 = 2\cos\frac{180^\circ}{3} = 2\cos60^\circ = 2×\frac{1}{2} = 1$。
正四边形：$n = 4$，边心距$r_4 = 2\cos\frac{180^\circ}{4} = 2\cos45^\circ = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
正六边形：$n = 6$，边心距$r_6 = 2\cos\frac{180^\circ}{6} = 2\cos30^\circ = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
边心距之比为$r_3:r_4:r_6 = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$

5. 如图,$\triangle ABC$是正三角形,曲线$CDEF…$叫作“正三角形的渐开线”,其中$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{EF}$、…的圆心按点$A$、$B$、$C$循环.如果$AB = 1$,那么曲线$CDEF$的长是____$4\pi$(结果保留$\pi$).

答案： 解：
∵△ABC是正三角形，AB=1，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AC=BC=AB=1。
求$\overset{\frown}{CD}$的长：
圆心为A，半径AC=1，圆心角∠CAD=180°-60°=120°（平角减去正三角形内角）。
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
求$\overset{\frown}{DE}$的长：
圆心为B，半径BD=BA+AD=AB+AC=1+1=2（AD=AC=1），圆心角∠DBE=180°-60°=120°。
$\overset{\frown}{DE}$的长$=\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$。
求$\overset{\frown}{EF}$的长：
圆心为C，半径CE=CB+BE=CB+BD=1+2=3（BE=BD=2），圆心角∠ECF=180°-60°=120°。
$\overset{\frown}{EF}$的长$=\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$。
曲线CDEF的长$=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+2\pi=\frac{6\pi}{3}+2\pi=2\pi+2\pi=4\pi$。
答案：$4\pi$。

6. 如图,已知四边形$ABCD内接于圆O$,连接$BD$,$\angle BAD = 105^{\circ}$,$\angle DBC = 75^{\circ}$.
(1) 求证:$BD = CD$;
(2) 若圆$O$的半径为 3,求$\overset{\frown}{BC}$的长.

答案： 【解析】：
(1)本题可通过圆内接四边形的性质以及同弧所对的圆周角的关系来证明$BD = CD$。
已知四边形$ABCD$内接于圆$O$，根据圆内接四边形的对角互补，可得$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$。
因为$\angle BAD = 105^{\circ}$，所以$\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$。
又因为$\angle DBC = 75^{\circ}$，所以$\angle BCD=\angle DBC$。
根据等角对等边，在$\triangle BCD$中，可得$BD = CD$。
(2)本题可先根据圆内接四边形的性质求出$\angle BDC$的度数，进而得到$\angle BOC$的度数，再根据弧长公式求出$\overset{\frown}{BC}$的长。
由
(1)知$\angle BCD=\angle DBC = 75^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC - \angle BCD=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$。
根据同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，因为$\angle BAC$与$\angle BDC$是同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，所以$\angle BOC = 2\angle BDC = 2×30^{\circ}=60^{\circ}$。
已知圆$O$的半径$r = 3$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），可得$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60\pi×3}{180}=\pi$。
【答案】：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$内接于圆$O$，
∴$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$（圆内接四边形的对角互补）。
∵$\angle BAD = 105^{\circ}$，
∴$\angle BCD=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}$。
∵$\angle DBC = 75^{\circ}$，
∴$\angle BCD=\angle DBC$，
∴$BD = CD$（等角对等边）。
(2)由
(1)知$\angle BCD=\angle DBC = 75^{\circ}$，
∴$\angle BDC=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$。
∵$\angle BAC$与$\angle BDC$是同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$\angle BOC = 2\angle BDC = 60^{\circ}$。
∵圆$O$的半径$r = 3$，
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，可得$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60\pi×3}{180}=\pi$。

7. 如图,一条圆弧经过网格点$A$、$B$、$C$,其中点$B的坐标为(4,4)$,则
(1) 该圆弧所在圆的圆心$M$的坐标为(2,0),圆心角$\angle AMC= $90°;
(2) 求弧$AC$的长.

(2)解：由(1)知圆心M(2,0)，∠AMC=90°
∵A(0,4)，M(2,0)
∴AM=$\sqrt{(0-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
∴弧AC的长=$\frac{90\cdot\pi\cdot2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}\pi$

答案：
(1)(2,0)；90°
(2)解：由
(1)知圆心M(2,0)，∠AMC=90°
∵A(0,4)，M(2,0)
∴AM=$\sqrt{(0-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
∴弧AC的长=$\frac{90\cdot\pi\cdot2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}\pi$