《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 如图,A、B、C 三点在$\odot O$上,若$∠ACB= ∠AOB$,则$∠AOB$的度数为 (D)
A.$60^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$120^{\circ }$

答案： 解：
∵∠ACB与∠AOB分别是$\odot O$中$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB。
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
解得∠AOB=120°。
答案：D

2. 如图,$\odot O是△ABC$的外接圆,半径为 3 cm,若$BC= 3cm$,则$∠A$的度数为 (C)
A.$15^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$10^{\circ }$

答案： 【解析】：
本题可根据圆的性质，结合等边三角形的判定与性质以及圆周角定理来求解$\angle A$的度数。
步骤一：连接$OB$、$OC$
因为$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，$OB$、$OC$为圆$O$的半径，已知圆$O$半径为$3cm$，所以$OB = OC = 3cm$。
又已知$BC = 3cm$，由此可得$OB = OC = BC$。
步骤二：判断$\triangle OBC$的形状
根据等边三角形的判定定理：三条边都相等的三角形是等边三角形。
由于$OB = OC = BC = 3cm$，所以$\triangle OBC$是等边三角形。
步骤三：求出$\angle BOC$的度数
根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于$60^{\circ}$。
因为$\triangle OBC$是等边三角形，所以$\angle BOC = 60^{\circ}$。
步骤四：根据圆周角定理求出$\angle A$的度数
圆周角定理为：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
在$\odot O$中，$\angle A$是弧$BC$所对的圆周角，$\angle BOC$是弧$BC$所对的圆心角，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC$。
将$\angle BOC = 60^{\circ}$代入可得：$\angle A=\frac{1}{2}×60^{\circ}= 30^{\circ}$。
【答案】：C。

3. 如图,已知 AB 为$\odot O$的直径,C 为圆周上一点,切线 PA 与射线 BC 交于点 P,若$∠AOC= 80^{\circ }$,则$∠P$的度数为 (C)
A.$25^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： 解：
∵∠AOC=80°，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=(180°-80°)/2=50°.
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵PA是切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠PAC=∠OAP-∠OAC=90°-50°=40°.
在Rt△ACP中，∠P=90°-∠PAC=90°-40°=50°.
答案：C.

4. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },\odot O$的圆心在边 AB 上,且分别与 AC、BC 相切于点 D、B,若$AB= 6cm,AC= 10cm$,则$\odot O$的半径为$\frac{8}{3}$cm.

答案： 解：在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ}$，$AB=6cm$，$AC=10cm$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8cm$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$，$AO=AB - OB=6 - r$。
因为$\odot O$与$AC$相切于点$D$，所以$OD⊥AC$，即$∠ADO=90^{\circ}$。
又因为$∠A=∠A$，$∠ADO=∠ABC=90^{\circ}$，所以$△ADO∽△ABC$。
则$\frac{OD}{BC}=\frac{AO}{AC}$，即$\frac{r}{8}=\frac{6 - r}{10}$。
解得$10r=8(6 - r)$，$10r=48 - 8r$，$18r=48$，$r=\frac{8}{3}$。
$\frac{8}{3}$

5. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= BC$,点 O 在 AB 上,经过点 A 的$\odot O$与 BC 相切于点 D,交 AB 于点 E,若$CD= 2\sqrt {2}$,则图中阴影部分面积为______8 - 2π.

答案： 解：连接OD。
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°。
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°。
设OD=OA=r，则OB=AB - OA。
在Rt△ABC中，设AC=BC=a，则AB=√2a。
∵OD⊥BC，∠C=90°，
∴OD//AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴OD/AC = BD/BC = OB/AB，
即r/a = (a - CD)/a = (√2a - r)/√2a，
由r/a = (a - 2√2)/a，得r = a - 2√2。
由r/a = (√2a - r)/√2a，得√2r = √2a - r，
√2r + r = √2a，r(√2 + 1)=√2a，
r = √2a/(√2 + 1)=√2a(√2 - 1)/[(√2 + 1)(√2 - 1)]=a(2 - √2)。
∴a - 2√2 = a(2 - √2)，
a - 2√2 = 2a - √2a，
√2a - a = 2√2，
a(√2 - 1)=2√2，
a=2√2/(√2 - 1)=2√2(√2 + 1)/[(√2 - 1)(√2 + 1)]=2√2(√2 + 1)/1=4 + 2√2。
∴r = a - 2√2=4 + 2√2 - 2√2=4。
∵OD=4，∠ODB=90°，∠B=45°，
∴BD=OD=4，
S阴影=S△BOD - S扇形DOE=1/2×OD×BD - 45°/360°×πr²=1/2×4×4 - 1/8×π×16=8 - 2π。
答案：8 - 2π

6. 如图,$\odot O的直径AB⊥$弦 CD,垂足为 E.
(1)求证：$∠BOC= 2∠BAD;$
(2)若$∠BOC= 40^{\circ }$,则弦 AD 所对圆周角的度数是______.

(1)证明：
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∵∠BOC是$\widehat{BC}$所对的圆心角，∠BAD是$\widehat{BD}$所对的圆周角，
∴∠BOC=2∠BAD；
(2)20°或160°

答案：
(1)证明：
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∵∠BOC是$\widehat{BC}$所对的圆心角，∠BAD是$\widehat{BD}$所对的圆周角，
∴∠BOC=2∠BAD；
(2)20°或160°

7. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,BD 是$∠ABC$的平分线,点 O 在 AB 上,以点 O 为圆心,OB 为半径的圆经过点 D,交 BC 于点 E.
(1)判断直线 AC 与$\odot O$的位置关系,并说明理由；
(2)若$BE= 16,CD= 15$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)直线AC与$\odot O$相切。
证明：连接OD。
因为OB=OD，所以∠OBD=∠ODB。
因为BD平分∠ABC，所以∠OBD=∠DBC，所以∠ODB=∠DBC，所以OD//BC。
因为∠C=90°，所以∠ODA=90°，即OD⊥AC。
因为OD是$\odot O$的半径，所以AC是$\odot O$的切线。
(2)解：过点O作OF⊥BC于点F。
因为OB=OE，OF⊥BC，所以BF=EF=$\frac{BE}{2}$=8。
因为∠OFC=∠C=∠ODC=90°，所以四边形ODCF是矩形，所以OD=CF，OF=CD=15。
设$\odot O$的半径为r，则OB=OE=r，CF=OD=r，所以BC=BF+CF=8+r。
在Rt△OBF中，OB²=BF²+OF²，即r²=8²+15²，解得r=17。
所以$\odot O$的半径为17。