《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,这个三角形叫作圆的外切三角形。
2. 三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心,它是三角形三条角平分线的交点,到三角形的三边的距离相等。

答案： 【解析】：
本题考查的是对三角形内切圆及其相关概念的理解。
首先，根据三角形内切圆的定义，我们知道与三角形各边都相切的圆被称为三角形的内切圆。
同时，这个三角形则被称为该圆的外切三角形。
接下来，三角形内切圆的圆心被称为三角形的内心。
这个内心是三角形三个内角的角平分线的交点。
由于内心是角平分线的交点，根据角平分线的性质，内心到三角形三边的距离是相等的。
【答案】：
1. 相切；外切
2. 内心；三条角平分线；三边

1. 下列命题正确的是 (C)
A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心、外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形

答案： 【解析】：
本题主要考查了三角形内心与外心的性质以及圆与三角形的关系。
A选项：三角形的内心到三角形的三边的距离相等，而不是到三个顶点的距离相等。到三个顶点距离相等的点是外心，所以A选项错误。
B选项：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，根据三角形的性质，内心一定在三角形的内部。所以B选项错误。
C选项：等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都重合，因此内心和外心也重合。所以C选项正确。
D选项：一个给定的圆可以有无数个外切三角形，因为只要选择圆上的任意三点作为三角形的顶点，都可以构造出一个外切于该圆的三角形。所以D选项错误。
综上所述，只有C选项是正确的。
【答案】：
C

2. 如图,已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为 (D)
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： 【解析】：
本题可根据三角形的面积公式$S = \frac{1}{2}(a + b + c)r$（其中$a,b,c$为三角形三边长度，$r$为三角形内切圆半径）来求解该三角形内切圆的半径。
已知三角形周长$C=a + b + c = 12$，面积$S = 6$，将其代入上述公式即可求出$r$的值。
【答案】：
解：设该三角形内切圆的半径为$r$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}(a + b + c)r$（$a,b,c$为三角形三边长度），已知三角形周长$a + b + c = 12$，面积$S = 6$，则可得：
$6=\frac{1}{2}×12× r$
$6 = 6r$
解得$r = 1$
所以该三角形内切圆的半径为$1$，答案选D。

3. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,$D$、$E$、$F$为三个切点,若$∠EDF= 52^{\circ }$,则$∠A$的度数为 (A)

A.$76^{\circ }$
B.$68^{\circ }$
C.$52^{\circ }$
D.$38^{\circ }$

答案： 解：连接OE、OF。
∵E、F为切点，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，∠OEA=∠OFA=90°。
∵∠EDF=52°，
∴∠EOF=2∠EDF=104°（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
在四边形AEOF中，∠A+∠OEA+∠OFA+∠EOF=360°，
∴∠A=360°-90°-90°-104°=76°。
答案：A。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 66^{\circ }$,点$I$是内心,则$∠BIC$的度数为$123^\circ$。

答案： 【解析】：本题主要考查了三角形的内心性质。
根据三角形内心的性质，点$I$是$\triangle ABC$的内心，即$I$是三角形三条角平分线的交点。
利用角平分线的性质，有$\angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ 和 $\angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB$。
根据三角形内角和为$180^\circ$，在$\triangle ABC$中，有 $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$。
在$\triangle BIC$中，利用三角形内角和为$180^\circ$，有 $\angle BIC = 180^\circ - (\angle IBC + \angle ICB) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - \frac{1}{2} × 114^\circ = 123^\circ$。
【答案】：$123^\circ$。

5. 已知$\odot O$的半径为5 cm,过$\odot O内一点P$的最短弦长为8 cm,则$OP= $3 cm。

答案： 【解析】：
本题考查了直线与圆的位置关系，特别是垂径定理的应用。
设过点$P$的最短弦为$AB$，且$AB$与$OP$垂直。
由于$AB$是过点$P$的最短弦，根据垂径定理，$OP$会垂直于$AB$并且平分$AB$。
设$AB$的一半为$a$，则$2a = 8$，所以$a = 4$ cm。
在直角三角形$AOP$中，已知$OA = 5$ cm（圆的半径）和$AP = a = 4$ cm，我们需要求$OP$。
利用勾股定理，有
$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$
【答案】：
$OP = 3 \text{ cm}$

6. 如图,$\triangle ABC$是直角三角形,$∠C= 90^{\circ }$。
(1)请作出$\triangle ABC的内切圆\odot O$(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)；
(2)设(1)中作出的$\odot O与边AB$、$BC$、$CA分别相切于点D$、$E$、$F$,$BC= 8$,$AC= 6$,求$\odot O$的面积。

答案： 【解析】：
(1)这一问要求我们作出直角三角形$\triangle ABC$的内切圆。根据内切圆的定义，内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点。这个交点称为内心。
首先，作出$\angle A$和$\angle B$的角平分线，它们的交点即为内切圆的圆心$O$。
然后，用圆规以$O$为圆心，$O$到任意一边的垂直距离为半径，作出内切圆。
(2)这一问要求我们根据已知的边长，求出内切圆的面积。
已知$BC = 8$，$AC = 6$，由勾股定理可得$AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。
设内切圆的半径为$r$。
根据内切圆的性质，三角形的面积也可以表示为$S = \frac{1}{2} × (AB + BC + AC) × r$。
同时，直角三角形的面积也可以表示为$S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
将两者相等，得到方程：
$\frac{1}{2} × (10 + 8 + 6) × r = 24$，
化简得：
$12r = 24$，
解得：
$r = 2$，
因此，内切圆的面积为$\pi r^2 = \pi × 2^2 = 4\pi$。
【答案】：
(1)图略；
(2)$4\pi$。

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,三个切点分别为$D$、$E$、$F$。若$BF= 3$,$AF= 10$。求$\triangle ABC$的面积。

答案： 【解析】：本题可根据切线长定理得出线段之间的关系，进而求出$AC$、$BC$的长度，最后根据三角形面积公式求解。
步骤一：根据切线长定理得到线段关系
因为$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，三个切点分别为$D$、$E$、$F$，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
所以可得$BD = BF = 3$，$CD = CE$，$AE = AF = 10$。
步骤二：设未知数并表示出$AC$、$BC$的长度
设$CD = CE = x$，则$AC = AE + CE = 10 + x$，$BC = BD + CD = 3 + x$。
步骤三：在$Rt\triangle ABC$中利用勾股定理列方程求解$x$
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，已知$AB = AF + BF = 10 + 3 = 13$，则可得方程$(10 + x)^{2} + (3 + x)^{2} = 13^{2}$。
展开方程得$100 + 20x + x^{2} + 9 + 6x + x^{2} = 169$，
合并同类项得$2x^{2} + 26x + 109 = 169$，
移项化为标准的一元二次方程形式得$2x^{2} + 26x - 60 = 0$，
两边同时除以$2$得$x^{2} + 13x - 30 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x + 15) = 0$，
则$x - 2 = 0$或$x + 15 = 0$，
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = -15$（线段长度不能为负，舍去）。
步骤四：求出$AC$、$BC$的长度
把$x = 2$代入$AC = 10 + x$，可得$AC = 10 + 2 = 12$；
把$x = 2$代入$BC = 3 + x$，可得$BC = 3 + 2 = 5$。
步骤五：计算$\triangle ABC$的面积
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}AC\cdot BC$，可得${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 12× 5 = 30$。
【答案】：$30$