《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的根的判别式为$b^{2}-4ac$.
2. 关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的根的情况如下:
当$b^{2}-4ac＞0$时,方程有两个不相等的实数根;
当$b^{2}-4ac= 0$方程有两个相等的实数根;
当$b^{2}-4ac＜0$时,方程没有实数根.反之,亦成立.

答案： 1. $b^{2}-4ac$
2. 两个不相等的实数；两个相等的实数；没有实数

1. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x-a= 0$有两个相等的实数根,则a的值是 (A)
A.-1
B.-4
C.1
D.4

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的判别式。一元二次方程的形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = 0$。
对于给定的方程$x^2 + 2x - a = 0$，其中$a = 1, b = 2, c = -a$。
根据判别式$\Delta = 0$的条件，我们有：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 1 × (-a) = 4 + 4a = 0$，
解这个方程，我们得到：
$4 + 4a = 0$，
$4a = -4$，
$a = -1$。
【答案】：
A. -1。

2. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-k= 0$没有实数根,则k的值可以是 (A)
A.-2
B.-1
C.0
D.1

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的判别式知识。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
若方程没有实数根，则判别式 $\Delta ＜ 0$。
对于给定的方程 $x^2 - 2x - k = 0$，其中 $a = 1, b = -2, c = -k$。
代入判别式得：$\Delta = (-2)^2 - 4×(1)×(-k) = 4 + 4k$。
要使方程没有实数根，需要 $4 + 4k ＜ 0$。
解这个不等式得到 $k ＜ -1$。
根据选项，只有 $k = -2$ 满足这个条件。
【答案】：
A

3. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2x+1= 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(D)
A.$k＜-2$
B.$k＜2$
C.$k＞2$
D.$k＜2且k≠1$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。
一元二次方程的形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。
对于给定的方程$(k-1)x^{2}-2x+1= 0$，其系数分别为$a = k-1$，$b = -2$，$c = 1$。
将这些系数代入判别式，得到：
$\Delta = (-2)^2 - 4(k-1)(1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k$。
由于方程需要有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即：
$8 - 4k ＞ 0$，
解这个不等式，得到：
$k ＜ 2$。
另外，由于$a = k-1$，为了保证方程是二次的，$k-1 \neq 0$，即$k \neq 1$。
综上，得到$k$的取值范围为$k ＜ 2$且$k \neq 1$。
【答案】：
D. $k＜2$且$k≠1$。

4. 方程$x^{2}-4x+m= 0$的判别式$b^{2}-4ac=$$16 - 4m$;当m$＜ 4$时,方程有两个不相等的实数根;当m$= 4$时,方程有两个相等的实数根;当m$＞ 4$时,方程没有实数根.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的判别式及其与方程根的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根据题目给出的方程 $x^2 - 4x + m = 0$，可以确定 $a = 1, b = -4, c = m$。
代入判别式公式，得到 $\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × m = 16 - 4m$。
接下来，根据判别式的值判断方程的根的情况：
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。即 $16 - 4m ＞ 0$，解得 $m ＜ 4$。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。即 $16 - 4m = 0$，解得 $m = 4$。
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。即 $16 - 4m ＜ 0$，解得 $m ＞ 4$。
【答案】：
判别式 $b^2 - 4ac = 16 - 4m$；
当 $m ＜ 4$ 时，方程有两个不相等的实数根；
当 $m = 4$ 时，方程有两个相等的实数根；
当 $m ＞ 4$ 时，方程没有实数根。

5. 若一元二次方程$x^{2}-2x-3a= 0$无实根,则a的取值范围是$a ＜ -\frac{1}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的判别式及其性质。
一元二次方程 $x^{2} - 2x - 3a = 0$ 无实根，根据判别式的性质，需要满足 $\Delta ＜ 0$。
在该方程中，系数 $A = 1, B = -2, C = -3a$。
根据判别式公式 $\Delta = B^{2} - 4AC$，代入得：
$\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × (-3a) = 4 + 12a$
由于方程无实根，所以 $4 + 12a ＜ 0$。
解这个不等式，得到 $a ＜ -\frac{1}{3}$。
【答案】：
$a ＜ -\frac{1}{3}$

6. 不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)$x^{2}-2x-1= 0$; (2)$2x^{2}+x= -3$; (3)$9x^{2}+6\sqrt {2}x+2= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。
对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
(1) 对于方程$x^{2}-2x-1= 0$，其中$a = 1, b = -2, c = -1$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^{2} - 4 × 1 × (-1) = 4 + 4 = 8 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$2x^{2}+x= -3$，移项得$2x^{2}+x + 3 = 0$，其中$a = 2, b = 1, c = 3$，代入判别式得：
$\Delta = 1^{2} - 4 × 2 × 3 = 1 - 24 = -23 ＜ 0$
所以，此方程没有实数根。
(3) 对于方程$9x^{2}+6\sqrt {2}x+2= 0$，其中$a = 9, b = 6\sqrt{2}, c = 2$，代入判别式得：
$\Delta = (6\sqrt{2})^{2} - 4 × 9 × 2 = 72 - 72 = 0$
所以，此方程有两个相等的实数根。
【答案】：
(1) 方程$x^{2}-2x-1= 0$有两个不相等的实数根；
(2) 方程$2x^{2}+x= -3$没有实数根；
(3) 方程$9x^{2}+6\sqrt {2}x+2= 0$有两个相等的实数根。

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-3x-k= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围; (2)若取k的最小整数值,求出方程的根.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的求解。
(1) 对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
若方程有两个不相等的实数根，则 $\Delta ＞ 0$。
对于方程 $x^2 - 3x - k = 0$，其判别式为 $\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × (-k) = 9 + 4k$。
根据题意，要求方程有两个不相等的实数根，所以 $9 + 4k ＞ 0$。
解这个不等式，得到 $k ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 根据第一问的结论，$k ＞ -\frac{9}{4}$，所以 $k$ 的最小整数值是 $-2$。
将 $k = -2$ 代入原方程 $x^2 - 3x - k = 0$，得到新方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$。
这是一个标准形式的一元二次方程，可以通过因式分解或者使用求根公式来求解。
这里使用求根公式，即 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$。
代入 $a = 1, b = -3, c = 2$，以及判别式 $\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × 2 = 9 - 8 = 1$，
得到 $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$。
所以，方程的解为 $x_1 = 1, x_2 = 2$。
【答案】：
(1) $k ＞ -\frac{9}{4}$；
(2) 当 $k = -2$ 时，方程的解为 $x_1 = 1, x_2 = 2$。