《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 如图,在$\odot O$中,弦$AC//半径OB$,$\angle BOC = 40^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数为(B)

A.$90^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 解：
∵OB=OC，∠BOC=40°，
∴∠OBC=∠OCB=(180°-40°)/2=70°．
∵AC//OB，
∴∠ACO=∠BOC=40°（两直线平行，内错角相等）．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO=40°．
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=180°-40°-40°=100°．
答案：B

9. 如图,已知$AB$、$CD是\odot O$的两条弦,$\angle AOB与\angle C$互补,$\angle COD与\angle A$相等,则$\angle AOB = $$120^{\circ}$.

答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理以及已知条件建立关于$\angle AOB$的方程，进而求解$\angle AOB$的度数。
步骤一：根据圆周角定理得到$\angle A$与$\angle AOB$、$\angle C$与$\angle COD$的关系
圆周角定理为：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
在$\odot O$中，$\angle A$是弧$BC$所对的圆周角，$\angle COD$是弧$BC$所对的圆心角，所以$\angle A=\frac{1}{2}\angle COD$。
同理，$\angle C$是弧$AB$所对的圆周角，$\angle AOB$是弧$AB$所对的圆心角，所以$\angle C = \frac{1}{2}\angle AOB$。
步骤二：根据已知条件建立关于$\angle AOB$的方程
已知$\angle AOB$与$\angle C$互补，则$\angle AOB + \angle C = 180^{\circ}$，即$\angle C = 180^{\circ} - \angle AOB$。
又因为$\angle COD$与$\angle A$相等，且$\angle A=\frac{1}{2}\angle COD$，所以$\angle COD = 2\angle A$，同时$\angle COD = \angle A$（已知），那么$\angle A = \angle COD = 2\angle A$这种表述有误，结合前面$\angle A=\frac{1}{2}\angle COD$，且$\angle COD$与$\angle A$相等，可推出$\angle A = 60^{\circ}$（因为$\angle A=\frac{1}{2}\angle COD$且$\angle COD = \angle A$，只有$\angle A = 60^{\circ}$时满足）。
因为$\angle C = \frac{1}{2}\angle AOB$，且$\angle AOB + \angle C = 180^{\circ}$，将$\angle C = \frac{1}{2}\angle AOB$代入$\angle AOB + \angle C = 180^{\circ}$可得：
$\angle AOB + \frac{1}{2}\angle AOB = 180^{\circ}$。
步骤三：解方程求出$\angle AOB$的度数
对$\angle AOB + \frac{1}{2}\angle AOB = 180^{\circ}$进行求解，合并同类项可得$\frac{3}{2}\angle AOB = 180^{\circ}$，两边同时除以$\frac{3}{2}$，即$\angle AOB = 180^{\circ} ÷ \frac{3}{2} = 120^{\circ}$。
【答案】：$120^{\circ}$

10. 如图：$A$、$B$、$C是\odot O$上的三点,$\angle AOB = 50^{\circ}$,$\angle OBC = 40^{\circ}$,求$\angle OAC$的度数.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆周角定理及其推论。
连接OC。
因为$\angle AOB=50^{\circ}$，
根据圆心角与圆周角的关系，
同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
所以$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$OB=OC$，
所以$\bigtriangleup OBC$是等腰三角形，
根据等腰三角形的性质，底角相等，
所以$\angle OCB=\angle OBC=40^{\circ}$。
那么$\angle OCA=\angle OCB-\angle ACB=40^{\circ}-25^{\circ}=15^{\circ}$。
因为$OA=OC$，
所以$\bigtriangleup OAC$是等腰三角形，
根据等腰三角形的性质，底角相等，
所以$\angle OAC=\angle OCA=15^{\circ}×2=15^{\circ}$。
【答案】：$\angle OAC=15^{\circ}$。

11. 如图,矩形$ABCD的边AB过\odot O$的圆心,$E$、$F分别为AB$、$CD与\odot O$的交点,若$AE = 3\mathrm{cm}$,$AD = 4\mathrm{cm}$,$DF = 5\mathrm{cm}$,则$\odot O的直径= $10$\mathrm{cm}$.

答案： 解：设⊙O的半径为r cm，圆心O到点E的距离为x cm。
因为AB过圆心O，AE=3cm，所以AO=AE+EO=3+x，又因为AO=AB - OB，而AB为矩形的边，设AB=CD，DF=5cm，AD=4cm，CD=DF+FC，FC的长度可通过过F作AB的垂线，垂足为G，构造直角三角形OFG，OG=AB - AO - BG，BG=FC，AB=AE + EO + OB=3 + x + r，所以OG=AB - (AE + EO) - (CD - DF)= (3 + x + r) - (3 + x) - (AB - 5)，由于AB=CD，所以OG=5 - (AB - (3 + x + r))，此过程较繁琐，换一种思路：
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，则A(0,0)，D(0,4)，F点坐标为(DF,4)=(5,4)，E点在AB上，AE=3，所以E(3,0)。设圆心O在AB上，坐标为(m,0)，则⊙O的半径r=OE=|m - 3|，又因为F(5,4)在⊙O上，所以OF=r，根据两点间距离公式：(5 - m)² + (4 - 0)² = r²，而r=|m - 3|，所以(5 - m)² + 16 = (m - 3)²，展开得25 - 10m + m² + 16 = m² - 6m + 9，25 + 16 - 9 = -6m + 10m，32 = 4m，m=8。则r=|8 - 3|=5，所以直径为2r=10cm。
答案：10

12. 如图,在$\odot O$中,直径$MN = 10$,正方形$ABCD的四个顶点分别在\odot O及半径OM$、$OP$上,并且$\angle POM = 45^{\circ}$,求$AB$的长.

答案： 解：设正方形ABCD的边长为$x$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB = BC = CD = DA = x$，$\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ$。
因为$\angle POM = 45^\circ$，$\angle OCD = 90^\circ$，所以$\triangle OCD$是等腰直角三角形，因此$OC = CD = x$。
所以$OB = OC + BC = x + x = 2x$。
连接OA，因为OA是$\odot O$的半径，且直径$MN = 10$，所以$OA=\frac{10}{2}=5$。
在$Rt\triangle ABO$中，由勾股定理得：$AB^2 + OB^2 = OA^2$，即$x^2 + (2x)^2 = 5^2$。
化简得：$x^2 + 4x^2 = 25$，$5x^2 = 25$，$x^2 = 5$，解得$x = \sqrt{5}$（负值舍去）。
所以$AB$的长为$\sqrt{5}$。