《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.
2. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等.
3. 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.

答案： 【解析】：
本题主要考察圆周角的基本概念及性质。
1. 第一空和第二空考察的是圆周角的定义，根据定义，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。
2. 第三空和第四空考察的是圆周角与圆心角的关系，根据性质，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
3. 第五空考察的是圆周角与它所对弧的度数的关系，根据性质，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
【答案】：
1. 圆上；圆
2. 一半；相等
3. 一半

1. 有下列说法:①相等的圆周角所对的弧相等;②同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等;③等弧所对的圆周角相等;④圆心角等于2倍的圆周角.其中正确的有 (A)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆周角定理及其推论。
① 对于"相等的圆周角所对的弧相等"，这一说法是不准确的。根据圆周角定理，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是相等的，但题目中并未明确说明是在同圆或等圆中，因此此说法是错误的。
② 对于"同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等"，这一说法也是不准确的。在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角有两种可能，一种是相等，另一种是互补。因此，此说法是错误的。
③ 对于"等弧所对的圆周角相等"，这一说法是正确的。根据圆周角定理的推论，等弧所对的圆周角是相等的。
④ 对于"圆心角等于2倍的圆周角"，这一说法是不准确的。正确的说法应该是，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于2倍的圆周角。题目中并未明确说明是在同圆或等圆中，也未说明是同弧或等弧，因此此说法是错误的。
综上，只有③是正确的，所以正确的有1个。
【答案】：
A

2. 如图,在$\odot O$中,弧AB所对的圆周角$∠ACB= 50^{\circ }$,P为弧AB上一点,$∠AOP= 55^{\circ }$,则$∠POB$的度数为 (B)
A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$55^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： 【解析】：本题主要考查圆周角定理。
根据圆周角定理，弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
已知$∠ACB = 50°$，这是弧AB所对的圆周角。
根据圆周角定理，弧AB所对的圆心角$∠AOB$应为圆周角的两倍，
即$∠AOB = 2 × ∠ACB = 2 × 50° = 100°$。
已知$∠AOP = 55°$，要求$∠POB$的度数。
由于$∠AOB = ∠AOP + ∠POB$，
所以$∠POB = ∠AOB - ∠AOP = 100° - 55° = 45°$。
【答案】：B. $45°$。

3. 如图,AB、AC是$\odot O$的弦,延长CA到点D,使$AD= AB$,若$∠D= 20^{\circ }$,则$∠BOC$等于 (C)

A.$20^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$80^{\circ }$
D.$120^{\circ }$

答案： 解：
∵AD=AB，∠D=20°，
∴∠ABD=∠D=20°（等边对等角）。
∴∠BAC=∠ABD+∠D=20°+20°=40°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴∠BOC=2∠BAC=2×40°=80°（在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）。
答案：C

4. 如图,将直角三角板$60^{\circ }$角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与$\odot O$相交于A、B两点,P是优弧AB上任意一点(与点A、B不重合),则$∠APB= $$30^{\circ}$.

答案： 【解析】：
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
在本题中，$\angle AOB$是圆心角，$\angle APB$是圆周角，且它们都对着同一条弧$\overset{\frown}{AB}$。
已知直角三角板$60^{\circ}$角的顶点放在圆心$O$上，即$\angle AOB = 60^{\circ}$。
所以，$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
【答案】：
$30^{\circ}$

5. 如图,已知E是$\odot O$上的点,B、C分别是劣弧AD的三等分点,$∠BOC= 46^{\circ }$,则$∠AED$的度数为____.

69°

答案： 解：
∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=46°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=46°×3=138°，
∵∠AED是$\odot O$中弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×138°=69°．
69°

6. 如图,$△ABC是\odot O$的内接三角形,C是优弧AB上一点(点C不与点A、B重合),设$∠OAB= α$,$∠C= β$.
(1) 当$α=40^{\circ }$时,求β的度数;
(2) 猜想α与β之间的关系,并给予证明.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆周角定理的应用，以及等腰三角形的性质。
（1）可以通过连接$OB$，利用等腰三角形的性质和圆周角定理来求解$\beta$的度数。
（2）需要猜想$\alpha$与$\beta$之间的关系，并通过证明来验证猜想。
【答案】：
(1)解：连接$OB$，
$\because OA=OB$，
$\therefore\angle OAB=\angle OBA=40^\circ$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore\angle AOB=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ$（三角形内角和为$180^\circ$），
$\because\angle C=\beta$，
根据圆周角定理，$\angle AOB$是弧$AB$所对的圆心角，$\angle C$是弧$AB$所对的圆周角，
$\therefore\beta=\frac{1}{2}\angle AOB=50^\circ$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
所以$\beta$的度数为$50^\circ$。
(2)解：
猜想：$\alpha+\beta=90^\circ$，
证明：
连接$OB$，
$\because OA=OB$，
$\therefore\angle OAB=\angle OBA=\alpha$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore\angle AOB=180^\circ-2\alpha$（三角形内角和为$180^\circ$），
$\because\angle C=\beta$，
根据圆周角定理，$\angle AOB$是弧$AB$所对的圆心角，$\angle C$是弧$AB$所对的圆周角，
$\therefore\beta=\frac{1}{2}\angle AOB$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
$\therefore\beta=\frac{1}{2}(180^\circ-2\alpha)=90^\circ-\alpha$，
$\therefore\alpha+\beta=90^\circ$。

7. 如图,点A、B、C在$\odot O$上,点D在圆外,$∠ABD= 15^{\circ }$,CD、BD分别交$\odot O$于点E、F,且F是$\overset{\frown }{AE}$的中点,$∠D= 35^{\circ }$,求$∠BAC$的度数.

答案： 解：连接AF。
∵F是$\overset{\frown}{AE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{EF}$，
∴∠ABF=∠ACF=15°。
∵∠D=35°，∠ACF=15°，
∴∠BAC=∠D+∠ACF=35°+15°=50°。
答：∠BAC的度数为50°。