《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 圆是轴对称图形,每条直径所在的直线都是它的对称轴.

答案： 【解析】：
本题考查的是圆的对称性质。圆是一个特殊的几何图形，其上任取一点，关于圆心做对称点，该对称点也一定在圆上。这是因为圆上任意一点到圆心的距离都是相等的，即半径。因此，圆的任意直径都可以作为它的对称轴。
【答案】：
每条直径所在的直线。

2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧.

答案： 解：这条弦；两条弧

1. 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是 (C)

A.∠COE= ∠DOE
B.CE= DE
C.OA= DE
D.$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{BC}$

答案： 【解析】：
本题可根据圆的对称性以及垂径定理来逐一分析选项。
选项A：判断$\angle COE = \angle DOE$是否成立
因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$于点$E$，根据圆的对称性可知，$AB$是圆$\odot O$的一条对称轴，$CD$关于$AB$对称，所以$\angle COE = \angle DOE$，该选项一定成立。
选项B：判断$CE = DE$是否成立
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$于点$E$，所以$CE = DE$，该选项一定成立。
选项C：判断$OA = DE$是否成立
$OA$是圆$\odot O$的半径，$DE$是弦$CD$被直径$AB$所截得的一半，圆半径的长度与弦一半的长度并没有必然的相等关系，所以$OA$不一定等于$DE$，该选项不一定成立。
选项D：判断$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{BC}$是否成立
由于$AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$于点$E$，根据垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，所以$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{BC}$，该选项一定成立。
综上，答案选C。
【答案】：C

2. 如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB是 (C)
A.正方形
B.长方形
C.菱形
D.以上答案都不对

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质、线段垂直平分线的性质以及菱形的判定定理来求解。
步骤一：根据圆的性质得到相关线段关系
因为$OC$是圆$O$的半径，所以$OA = OB = OC$（圆的半径都相等）。
步骤二：根据线段垂直平分线的性质得到相关线段关系
已知弦$AB$垂直平分半径$OC$，设$AB$与$OC$的交点为$D$，则$OD = DC=\frac{1}{2}OC$，且$OA = AC$（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。
同理可得$OB = BC$。
步骤三：结合上述结论得到四边形$OACB$的边的关系
由$OA = OB = OC$，$OA = AC$，$OB = BC$，可得$OA = AC = BC = OB$。
步骤四：根据菱形的判定定理得出结论
根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，由于四边形$OACB$的四条边$OA$、$AC$、$BC$、$OB$都相等，所以四边形$OACB$是菱形。
【答案】：C

3. 如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径,AC、OB交于点D.若AD= CD= 8,OD= 6,则BD的长为 (B)
A.5
B.4
C.3
D.2

答案： 解：设⊙O的半径为r，则OB=OA=OC=r，BD=OB-OD=r-6。
∵AD=CD=8，
∴D为AC中点。
∵OA=OC，
∴OD⊥AC（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AOD中，OA²=AD²+OD²，即r²=8²+6²=64+36=100，
∴r=10。
∴BD=OB-OD=10-6=4。
答案：B

4. 如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BC,若BC= 12,则OD= 6.

答案： 【解析】：根据圆的性质，直径所对的圆周角为直角，所以$\angle C = 90^\circ$。
由于$OD \perp AC$，所以$OD$平行于$BC$（因为$OD$和$BC$都垂直于$AC$）。
由于$O$是$AB$的中点（因为$AB$是直径），所以$OD$是$\triangle ABC$的中位线。
根据中位线的性质，$OD = \frac{1}{2}BC$。
已知$BC = 12$，所以$OD = \frac{1}{2} × 12 = 6$。
【答案】：$OD = 6$。

5. 如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点M,AM= 18,BM= 8,则CD的长为24.

答案： 【解析】：
本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用。
首先，根据题目已知条件，直径 $AB = AM + BM = 18 + 8 = 26$，则半径 $OA = \frac{AB}{2} = 13$。
由于 $AB \perp CD$，根据垂径定理，我们知道 $CM = MD$，即 $CD$ 被 $AB$ 平分。
连接 $OC$，由于 $OC$ 是半径，所以 $OC = 13$，已知$OM=OA-AM=13-18=-5$（舍去）或$OM = AM - OA = 18 - 13 = 5$。
接下来，我们利用勾股定理在直角三角形 $OCM$ 中求解 $CM$ 的长度。
根据勾股定理，有：
$CM = \sqrt{OC^{2} - OM^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$，
最后，由于 $CD = 2CM$，所以 $CD = 2 × 12 = 24$。
【答案】：
24

6. 如图,在⊙O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE= 1 cm,EB= 5 cm,且∠DEB= 60°,求CD的长.

答案： 【解析】：本题主要考查圆的性质、垂径定理以及三角函数的应用。
连接$OD$，因为$AB$是直径，$AE = 1cm$，$EB = 5cm$，所以圆的半径$OD=\frac{AE + EB}{2}=\frac{1 + 5}{2}=3cm$，则$OE=OA - AE=3 - 1 = 2cm$。
在$\triangle OED$中，已知$\angle DEB = 60^{\circ}$，过$O$作$OF\perp CD$于$F$，根据垂径定理可知$CD = 2DF$。
在$Rt\triangle OEF$中，$\angle DEB = 60^{\circ}$，$OE = 2cm$，则$OF = OE\sin60^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}cm$。
在$Rt\triangle ODF$中，$OD = 3cm$，$OF=\sqrt{3}cm$，根据勾股定理$DF=\sqrt{OD^{2}-OF^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9 - 3}=\sqrt{6}cm$。
所以$CD = 2DF = 2\sqrt{6}cm$。
【答案】：$CD = 2\sqrt{6}cm$

7. 唐代李皋发明了“桨轮船”,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导.如图,某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为8米,轮子的半径AO为5米,求轮子的吃水深度CD.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆的性质以及垂径定理的应用。
已知弦$AB$的长度为$8$米，轮子的半径$AO$为$5$米。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$AD = \frac{AB}{2} = 4(米)$。
接下来，利用勾股定理在直角三角形$AOD$中求解$OD$的长度。
根据勾股定理，有
$OD = \sqrt{OA^{2} - AD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3(米)$，
由于$OC$是轮子的半径，且$CD$是吃水深度，所以
$CD = OC - OD = 5米 - 3米 = 2米$。
【答案】：$2$米。