《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 若k是整数,且关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2x+3= 0$有实数根,则k的最大值为(B)
A.1
B.0
C.-1
D.-2

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的根的判别式，即$\Delta = b^{2} - 4ac$。
当$\Delta \geq 0$时，方程有实数根。
在本题中，$a = k - 1$，$b = -2$，$c = 3$。
将这些值代入判别式，得到：
$\Delta = (-2)^{2} - 4(k - 1) × 3$
$= 4 - 12k + 12$
$= 16 - 12k$
由于方程有实数根，所以$\Delta \geq 0$，
即：$16 - 12k \geq 0$，
解得：$k \leq \frac{4}{3}$。
另外，由于$a = k - 1$，且$a \neq 0$，
所以$k \neq 1$。
综合以上两个条件，得到$k$的取值范围是$k \leq \frac{4}{3}$且$k \neq 1$。
由于题目中$k$是整数，所以$k$的最大值为0。
【答案】：
B

9. 对于实数m、n,定义一种运算“*”为:$m*n= mn+m$.如果关于x的方程$x*(a*x)= -1$有两个相等的实数根,那么满足条件的实数a的值是1.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的判别式及自定义运算的应用。
根据题目中给定的运算规则 $m*n = mn + m$，
首先我们需要将$a*x$进行展开：
$a*x = ax + a$，
接着，我们将$x*(a*x)$进行展开：
$x*(a*x) = x(ax + a) + x = ax^{2} + ax + x = ax^{2} + (a+1)x$，
根据题意，我们有：
$x*(a*x) = -1$，
代入上面的结果，我们得到方程：
$ax^{2} + (a+1)x + 1 = 0$，
由于方程有两个相等的实数根，所以其判别式$\Delta$必须为0，即：
$\Delta = (a+1)^{2} - 4a = 0$，
展开判别式，我们得到：
$a^{2} + 2a + 1 - 4a = 0$，
$a^{2} - 2a + 1 = 0$，
这是一个完全平方，即：
$(a-1)^{2} = 0$，
解得：$a = 1$。
【答案】：
$a = 1$。

10. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2mx+2m-1= 0$.
(1)若该方程有一个根是$x= 2$,求m的值;
(2)求证:无论m取什么值,该方程总有两个实数根.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法和根的判别式。
(1)对于第一个问题，已知方程$x^{2} - 2mx + 2m - 1 = 0$有一个根是$x = 2$，我们可以将$x = 2$代入方程，得到一个关于$m$的一元一次方程，然后解这个方程即可求出$m$的值。
(2)对于第二个问题，我们需要证明无论$m$取什么值，该方程总有两个实数根。根据一元二次方程的根的判别式，当判别式$\Delta \geq 0$时，方程有两个实数根。因此，我们需要计算判别式$\Delta = (2m)^{2} - 4 × 1 × (2m - 1)$，并证明其大于等于0。
【答案】：
(1)解：将$x = 2$代入方程$x^{2} - 2mx + 2m - 1 = 0$，得到：
$4 - 4m + 2m - 1 = 0$
化简得：
$-2m + 3 = 0$
解得：
$m = \frac{3}{2}$
(2)证明：对于方程$x^{2} - 2mx + 2m - 1 = 0$，其判别式为：
$\Delta = (2m)^{2} - 4 × 1 × (2m - 1)$
化简得：
$\Delta = 4m^{2} - 8m + 4$
进一步化简为：
$\Delta = 4(m - 1)^{2}$
由于$(m - 1)^{2} \geq 0$，所以$\Delta \geq 0$。
因此，无论$m$取什么值，该方程总有两个实数根。

11. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(k+3)x+3k= 0$.该方程根的情况是方程有两个实数根;若该方程有一个根大于1,k的取值范围是$k ＜ -1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及解不等式。
首先，我们计算一元二次方程的判别式$\Delta$，用于判断方程的根的情况。
对于方程$x^{2}+(k+3)x+3k= 0$，其判别式为：
$\Delta = (k+3)^{2} - 4 × 1 × 3k = k^{2} + 6k + 9 - 12k = k^{2} - 6k + 9 = (k-3)^{2}$
由于$(k-3)^{2} \geq 0$，所以方程有两个实数根。
接下来，我们找出方程的一个根，并判断其是否大于1。
方程可以因式分解为$(x+3)(x+k)=0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = -k$。
由于题目要求有一个根大于1，所以我们有$-k ＞ 1$，即$k ＜ -1$。
【答案】：
方程有两个实数根；$k ＜ -1$。

12. 已知关于的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$,其中a、b、c分别为三角形三边的长.
(1)如果-1是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法与三角形的性质。
(1)根据一元二次方程的根的定义，将$x = -1$代入方程，得到关于$a, b, c$的等式，进而判断三角形的形状。
(2)根据一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式$\Delta = 0$，得到关于$a, b, c$的等式，进而判断三角形的形状。
(3)根据等边三角形的性质，得到$a = b = c$，代入原方程求解。
【答案】：
(1)将$x = -1$代入方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$，得到：
$(a+c)(-1)^{2}+2b(-1)+(a-c) = 0$
$a+c-2b+a-c = 0$
$2a-2b = 0$
$a = b$
由于$a, b$是三角形的两边，且$a = b$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)由于方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$有两个相等的实数根，根据判别式$\Delta = 0$，有：
$(2b)^{2}-4(a+c)(a-c) = 0$
$4b^{2}-4a^{2}+4c^{2} = 0$
$a^{2} = b^{2}+c^{2}$
由于$a, b, c$是三角形的三边，且满足$a^{2} = b^{2}+c^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
(3)由于$\triangle ABC$是等边三角形，所以$a = b = c$。代入原方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$，得到：
$(a+a)x^{2}+2ax+(a-a) = 0$
$2ax^{2}+2ax = 0$
$2ax(x+1) = 0$
解得：$x_{1} = 0$，$x_{2} = -1$。