《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 已知$\alpha是一元二次方程x^{2}-x-1= 0$较大的根,则下列对$\alpha$值估计正确的是 (B)
A.$2＜\alpha ＜3$
B.$1.5＜\alpha ＜2$
C.$1＜\alpha ＜1.5$
D.$0＜\alpha ＜1$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的求解以及对解的估算。
首先，我们有一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$。
为了求解这个方程，我们可以使用求根公式，但对于估算题，我们更关心的是解的大致范围。
考虑方程 $x^{2} - x - 1 = 0$，我们可以将其改写为 $x(x - 1) = 1$。
接下来，我们分析函数 $f(x) = x^{2} - x - 1$ 的性质。
当 $x = 0$ 时，$f(0) = -1 ＜ 0$；
当 $x = 1$ 时，$f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 ＜ 0$；
当 $x = 1.5$ 时，$f(1.5) = 2.25 - 1.5 - 1 = 0.75 - 1 = -0.25 ＜ 0$；
当 $x = 2$ 时，$f(2) = 4 - 2 - 1 = 1 ＞ 0$。
由于 $f(x)$ 是一个开口向上的抛物线（系数 $a = 1 ＞ 0$），并且 $f(1.5) ＜ 0$，$f(2) ＞ 0$，根据中值定理，我们知道在区间 $(1.5, 2)$ 内必有一个根。
又因为 $f(x)$ 的对称轴是 $x = \frac{1}{2}$，且 $f(0) ＜ 0$，所以另一个根必定小于$\frac{1}{2}$（该根是较小的根，题目中已说明$\alpha$是较大的根，所以我们不关注这个根）。
综上，我们可以确定 $\alpha$ 在区间 $(1.5, 2)$ 内。
【答案】：
B. $1.5＜\alpha ＜2$。

9. 有一个数值转换机,其流程如图所示:若输入$a= -6$,则输出的$x$的值为1.

答案：

因为$a = -6 ＜ 0$，所以代入方程$x^2 - 3x - a = 0$，即$x^2 - 3x - (-6) = x^2 - 3x + 6 = 0$。判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×6 = 9 - 24 = -15 ＜ 0$，此方程无实数根。

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10. 已知关于$x的一元二次方程为mx^{2}-(m+2)x+2= 0(m≠0)$.
(1) 求方程的根；
(2) $m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数?

答案： 【解析】：
(1) 对于一元二次方程 $mx^{2}-(m+2)x+2= 0$（其中 $m \neq 0$），
我们可以使用求根公式或因式分解法来求解。
这里，我们选择因式分解法。
首先，将方程 $mx^{2}-(m+2)x+2= 0$ 改写为 $(mx - 2)(x - 1) = 0$。
由此，我们可以得到两个方程：
$mx - 2 = 0$，解得 $x_{1} = \frac{2}{m}$；
$x - 1 = 0$，解得 $x_{2} = 1$。
(2) 接下来，我们需要找出使方程的两个根都为正整数的 $m$ 的值。
由
(1) 我们知道，方程的两个根为 $x_{1} = \frac{2}{m}$ 和 $x_{2} = 1$。
要使 $x_{1}$ 为正整数，$\frac{2}{m}$ 必须为正整数，即 $m$ 必须是 2 的正约数。
同时，由于 $x_{2} = 1$ 已经是正整数，我们只需考虑 $x_{1}$。
因此，$m$ 可以取 $1$ 或 $2$。
当 $m = 1$ 时，$x_{1} = 2$，$x_{2} = 1$，都是正整数；
当 $m = 2$ 时，$x_{1} = 1$，$x_{2} = 1$，也都是正整数。
【答案】：
(1) 方程的根为 $x_{1} = \frac{2}{m}$，$x_{2} = 1$；
(2) 当 $m = 1$ 或 $m = 2$ 时，此方程的两个根都为正整数。

11. 小明设计了一个魔术盒,当任意实数对$(a,b)$进入其中,会得到一个新的实数$a^{2}-2b+3$,若将实数对$(x,-3x)$放入其中,得到一个新数为$5$,则$x= $$-3 + \sqrt{11}$或$-3 - \sqrt{11}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法。
根据魔术盒的规则，我们可以将实数对$(x, -3x)$代入公式$a^{2} - 2b + 3$中，
得到新的实数表达式为：$x^{2} + 6x + 3$，
由于这个新实数等于5，所以我们有方程：$x^{2} + 6x + 3 = 5$，
移项得：$x^{2} + 6x - 2 = 0$，
接下来，我们利用一元二次方程的求根公式来求解这个方程。
求根公式为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$，
在本题中，$a = 1, b = 6, c = -2$，
代入求根公式，得到：
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 × 1 × (-2)}}{2 × 1}$
$= \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2}$
$= \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2}$
$= \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{2}$
$= -3 \pm \sqrt{11}$
所以，方程的两个解为：$x_{1} = -3 + \sqrt{11}$ 和 $x_{2} = -3 - \sqrt{11}$。
【答案】：
$x_{1} = -3 + \sqrt{11}$，$x_{2} = -3 - \sqrt{11}$。

12. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两根为x_{1}$、$x_{2}$,根据一元二次方程的解的概念知:$ax^{2}+bx+c= a(x-x_{1})(x-x_{2})= 0$. 即$ax^{2}+bx+c= a(x-x_{1})(x-x_{2})$这样我们可以在实数范围内分解因式. 例:分解因式$2x^{2}+2x-1$.
解:$\because 2x^{2}+2x-1= 0的根为x= \frac {-2\pm \sqrt {12}}{4}$,即$x_{1}= \frac {-1+\sqrt {3}}{2}$,$x_{2}= \frac {-1-\sqrt {3}}{2}$.
$\therefore 2x^{2}+2x-1= 2(x-\frac {-1+\sqrt {3}}{2})(x-\frac {-1-\sqrt {3}}{2})= 2(x-\frac {\sqrt {3}-1}{2})(x+\frac {\sqrt {3}+1}{2})$.
试仿照上例在实数范围内分解因式:$3x^{2}-5x+1$.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法和因式分解。
首先，需要找到一元二次方程$3x^{2} - 5x + 1 = 0$的根。
根据一元二次方程的求根公式，若一元二次方程为$ax^{2} + bx + c = 0$，
那么它的解为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$。
将$a = 3$，$b = -5$，$c = 1$代入公式，
得到方程的根为：$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2} - 4 × 3 × 1}}{2 × 3} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$。
即$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}$。
然后，利用一元二次方程的解的概念，将原方程$3x^{2} - 5x + 1$写成因式分解的形式，
即：$3x^{2} - 5x + 1 = 3(x - \frac{5 + \sqrt{13}}{6})(x - \frac{5 - \sqrt{13}}{6})$。
也可以写成：$3x^{2} - 5x + 1 = 3\left(x - \frac{\sqrt{13}+5}{6}\right)\left(x +\frac{\sqrt{13}-5}{6}\right)$（通过调整根的顺序和符号得到）。
【答案】：
$3x^{2} - 5x + 1 = 3\left(x - \frac{5 + \sqrt{13}}{6}\right)\left(x - \frac{5 - \sqrt{13}}{6}\right)=3\left(x - \frac{\sqrt{13}+5}{6}\right)\left(x +\frac{\sqrt{13}-5}{6}\right)$。