《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等.
2. 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
3. 直径所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是直径.
4. 圆内接四边形的对角互补.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆周角定理及其推论，以及圆内接四边形的性质。
1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。因此，第一个空应填“一半”。再根据圆周角定理的推论，同弧或等弧所对的圆周角相等。所以，第二个空应填“相等”。
2. 圆周角的度数也可以表示为它所对弧的度数的一半，因为圆心角是弧的度数。所以，这个空应填“一半”。
3. 直径所对的圆周角是直角，即$90^\circ$，这是圆周角定理的一个重要推论。因此，第一个空应填“90”。再根据另一个推论，$90^\circ$的圆周角所对的弦是直径。所以，第二个空应填“直径”。
4. 圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的一个重要性质。因此，这个空应填“互补”。
【答案】：
1. 一半；相等
2. 一半
3. $90$；直径
4. 互补

1. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OB、OC,若OB= BC,则∠BAC的度数为 (C)
A.60°
B.45°
C.30°
D.20°

答案： 【解析】：
根据题目已知条件$OB=BC$，且$OB$作为半径等于$OC$，所以三角形$OBC$为等边三角形，从而得出$\angle BOC$的度数。再根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出$\angle BAC$的度数。
(1) 首先，由于$OB$和$OC$都是⊙O的半径，所以$OB = OC$。
(2) 已知$OB = BC$，结合第一步，我们得到$OB = OC = BC$，所以$\triangle OBC$是等边三角形。
(3) 根据等边三角形的性质，$\angle BOC = 60^\circ$。
(4) 应用圆周角定理，$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} × 60^\circ = 30^\circ$。
【答案】：
C.$30^\circ$。

2. 如图,ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,$\overset{\frown}{DC}= \overset{\frown}{CB}$. 若∠C= 110°,则∠ABC的度数为 (A)

A.55°
B.60°
C.65°
D.70°

答案： 解：连接AC。
∵ABCD是半圆的内接四边形，∠BCD=110°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=70°。
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°。
∵$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴∠CAD=∠CAB。
∵∠BAD=∠CAD+∠CAB=70°，
∴∠CAB=35°。
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°。
答案：A

3. 如图,BC是半圆O的直径,D、E是$\overset{\frown}{BC}$上两点,连接BD、CE并延长交于点A,连接OD、OE. 如果∠A= 70°,那么∠DOE的度数为 (C)
A.35°
B.38°
C.40°
D.42°

答案： 解：连接CD。
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在△ADC中，∠A=70°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=20°。
∵∠ACD是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴∠DOE=2∠ACD=40°。
答案：C

4. 如图,A、B、C三点在⊙O上,若∠ACB= ∠AOB,则∠AOB的度数为____.

120°

答案： 解：设∠AOB的度数为x。
因为∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
所以∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB。
又因为∠ACB = ∠AOB，
所以$\frac{1}{2}$x = x，
解得x = 0°（不符合题意，舍去）。
考虑到点C可能在劣弧AB上或优弧AB上，若点C在优弧AB上，
则∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB'（其中∠AOB'为劣弧AB所对圆心角），此时∠AOB为优弧AB所对圆心角，设∠AOB = x，劣弧AB所对圆心角为360° - x，
则∠ACB = $\frac{1}{2}$(360° - x)，
因为∠ACB = ∠AOB，所以$\frac{1}{2}$(360° - x) = x，
解得x = 120°。
故∠AOB的度数为120°。

5. 如图,点A、B、C、D在圆O上,AC是圆O的直径,∠CAD= 26°,则∠ABD的度数为64°.

答案： 【解析】：本题可根据圆周角定理及其推论来求解$\angle ABD$的度数。
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：直径所对的圆周角是直角。
已知$AC$是圆$O$的直径，则$\angle ADC = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\triangle ADC$中，已知$\angle CAD = 26^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可求出$\angle ACD$的度数：
$\angle ACD=180^{\circ}-\angle ADC - \angle CAD=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}$。
因为$\angle ABD$与$\angle ACD$都是弧$AD$所对的圆周角，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，可得$\angle ABD = \angle ACD = 64^{\circ}$。
【答案】：$64^{\circ}$

6. 如图,已知AB为⊙O的直径,AB= AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC= 45°.
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD= CD.

答案： 【解析】：
（1）题目要求求$\angle EBC$的度数，可以通过观察图形，发现$\angle EBC$和$\angle BAC$有一定的关系。
由于$AB = AC$，且$\angle BAC = 45^\circ$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，可以利用等腰三角形的性质来求解。
首先，由于$AB$是⊙$O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，有$\angle AEB = 90^\circ$。
然后，由于$AB = AC$，且$\angle BAC = 45^\circ$，可以得出$\angle ABC = \angle C = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ$。
接着，由于$\angle EBC$和$\angle EAB$是同一个圆上的圆周角，且它们所对的弧都是$BE$，所以$\angle EBC = \angle EAB$。
又因为$\angle BAC = 45^\circ$，所以$\angle EAB = 45^\circ- \angle EBA$，而$\angle EBA=90^\circ-\angle EAB$，
即$\angle EBA=90^\circ-(45^\circ- \angle EBA)=45^\circ-\angle EBC$，
所以$\angle EBC = 45^\circ-(90^\circ-45^\circ-\angle EBC)=\angle ABC-\angle ABE=67.5^\circ-45^\circ=22.5^\circ$。
（2）题目要求证明$BD = CD$，可以通过证明$\triangle ABD$和$\triangle ACD$全等或者利用等腰三角形的三线合一性质来证明。
首先，由于$AB$是⊙$O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，有$\angle ADB = 90^\circ$。
然后，由于$AB = AC$，且$AD$是$BC$上的高（因为$\angle ADB = 90^\circ$），根据等腰三角形的三线合一性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合），可以得出$BD = CD$。
【答案】：
（1）$\angle EBC= 22.5^\circ$；
（2）证明：
连接$AD$，
∵$AB$为⊙$O$的直径，
∴$AD\perp BC$，
∵$AB=AC$，
∴$BD=CD$。