《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 黑色不透明袋子里有3个红球和两个白球. 这些球除颜色有区别外,其他特征相同. 随机从袋子中取出两个球的颜色相同的概率是(C)
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： 【解析】：
本题主要考察等可能条件下的概率计算。
首先，我们需要确定从袋子里随机取出两个球的所有可能情况。袋子里有3个红球和2个白球，所以总共有5个球。从这5个球中随机取出2个球，组合数为$C_5^2$。
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10$
所以，总共有10种不同的取球方式。
接下来，我们要确定取出两个颜色相同的球的情况。
取出两个红球的情况有$C_3^2$种：
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$
取出两个白球的情况有$C_2^2$种：
$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$
所以，取出两个颜色相同的球的情况总共有$3 + 1 = 4$种。
因此，取出两个颜色相同的球的概率为：
$P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
【答案】：
C. $\frac{2}{5}$。

9. 为发展学生的阅读素养,某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目,甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个. 则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是$\frac{1}{4}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是等可能条件下的概率计算。
首先，我们需要确定甲、乙两名同学各自抽取阅读项目的所有可能情况。
由于有4个阅读项目，甲同学有4种抽取方式，乙同学同样也有4种抽取方式。
因此，所有可能的情况数为 $4 × 4 = 16$（种）。
接着，我们考虑甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的情况。
对于每一个阅读项目，甲、乙两名同学都有可能同时抽到，因此恰好抽到同一个项目的情况有4种。
最后，根据概率的定义，概率等于“有利情况数”除以“所有可能情况数”。
因此，甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的概率为 $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
【答案】：
$\frac{1}{4}$

10. 在“庆元旦、迎新年”班级活动中,同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝.并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序.
(1) 第一个节目是说相声的概率是$\frac{1}{4}$；
(2) 求第二个节目是弹古筝的概率.$\frac{1}{4}$

答案： 【解析】：
本题考察的是等可能条件下的概率计算。
(1) 对于第一个问题，由于有四个节目，每个节目被选为第一个节目的可能性是相同的，
因此第一个节目是说相声的概率是$\frac{1}{4}$。
(2) 对于第二个问题，需要求第二个节目是弹古筝的概率，
在第一个节目已经确定之后（无论第一个节目是什么，都不影响第二个节目的概率），
剩下的节目中有四个等可能的选择，其中一个是弹古筝，
所以第二个节目是弹古筝的概率也是$\frac{1}{4}$，
但考虑到更一般的情况，即第一个节目已经确定，
第二个节目从剩下的节目中选择，其概率应为在剩余3个节目中选择弹古筝的概率，但因为每个节目被选中的机会是均等的，且抽签是独立的，
所以实际上第二个节目是弹古筝的概率仍然是$\frac{1}{4}$（因为每个节目在每次抽签中被选中的概率都是$\frac{1}{4}$）。
但更严谨的表述应该是：在四个节目中抽一个作为第二个节目，且每个节目被抽中的机会相等，所以第二个节目是弹古筝的概率是$\frac{1}{4}$。
【答案】：
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{4}$

11. 一只不透明的袋子中装有4个小球,分别标有编号1,2,3,4,这些小球除编号外都相同.
(1) 搅匀后从中任意摸出1个球,这个球的编号是2的概率为$\frac{1}{4}$.
(2) 搅匀后从中任意摸出1个球,记录球的编号后放回、搅匀,再从中任意摸出1个球. 求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少. (用画树状图或列表的方法说明)
$\frac{3}{16}$

答案： 【解析】：
本题主要考查了等可能条件下的概率计算。
(1) 对于第一个问题，由于袋子中共有4个小球，每个小球被摸到的概率是相等的，
因此摸到编号为2的小球的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 对于第二个问题，需要采用画树状图或列表的方法来列出所有可能的结果，并找出满足条件（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1）的结果数量。
首先，画出树状图或列出表格来表示两次摸球的所有可能结果。
由于每次摸球都有4种可能（编号1, 2, 3, 4），因此两次摸球共有$4 × 4 = 16$种可能结果。
然后，从这16种结果中找出满足条件的结果。
这些结果是：(1,2), (2,3), (3,4)，共有3种。
最后，根据概率的定义，所求概率为满足条件的结果数量除以所有可能的结果数量，
即$\frac{3}{16}$。
【答案】：
(1) $\frac{1}{4}$；
(2) $\frac{3}{16}$。

12. 甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛,他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.
(1) 求甲第一个出场的概率；
(2) 求甲比乙先出场的概率.

答案： 【解析】：
本题主要考查等可能条件下的概率计算。
(1) 对于甲第一个出场的概率：
考虑到甲、乙、丙三位学生都有可能第一个出场，因此所有可能的出场顺序有3!（3的阶乘）种，即6种。
但甲第一个出场的情况只有2!（2的阶乘）种，即乙和丙可以在后面以任何顺序出场，也就是2种。
但在这里，我们只需要考虑甲第一个出场的情况数占总情况数的比例，即甲第一个出场的概率为$\frac{1}{3}$（因为每种出场顺序都是等可能的，且总共有3个人，所以甲第一个出场的概率就是$\frac{1}{3}$）。
(2) 对于甲比乙先出场的概率：
考虑到甲、乙、丙三位学生的所有可能出场顺序，总共有3!（3的阶乘）种，即6种。
但甲比乙先出场的情况有：甲-乙-丙，甲-丙-乙，丙-甲-乙，这3种情况。
但同样地，我们只需要考虑甲比乙先出场的情况数占总情况数的比例。
通过列举法，我们可以找到甲比乙先出场的情况占总情况数的一半，即概率为$\frac{1}{2} × \frac{2}{3} ×1=\frac{1}{2} × \frac{2}{1×3} =\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ×2=\frac{1}{2}$（因为甲和乙的相对位置只有两种可能：甲在乙前面或乙在甲前面，且这两种情况是等可能的，而总的情况数是3人的全排列，即6种，甲比乙先出场的情况占其中的3种，但由于3人不同，所以实际占的情况为6种中的4种里的2种，也就是$\frac{1}{2}$）。
但更简洁的考虑方式是：在所有3人的排列中，甲和乙的相对位置只有两种可能，且每种可能性相同，所以甲比乙先出场的概率为$\frac{1}{2}$。
【答案】：
(1) $P(甲第一个出场) = \frac{1}{3}$
(2) $P(甲比乙先出场) = \frac{1}{2}$