《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 如图,在长为100m,宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为$7644m^2,$则道路的宽应为多少米？
设道路的宽为x米,则可列方程为(C)

A.$100×80 - 100x - 80x = 7644$
B.$(100 - x)(80 - x) + x^2 = 7644$
C.$(100 - x)(80 - x) = 7644$
D.$100x + 80x = 356$

答案： 【解析】：本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，特别是关于面积计算的问题。
首先，计算矩形场地的总面积，即长乘以宽，为$100m×80m=8000m^2$。
然后，考虑到修建的两条道路互相垂直且宽度相等，设道路的宽为$x$米。
这两条道路会占据一部分面积，需要从总面积中减去。
但是，如果直接计算两条道路的面积和，会重复计算道路交叉部分的面积（即$x^2$部分）。
因此，需要避免重复计算。
道路占据的有效面积是$(100-x)x+(80-x)x$，但交叉部分$x^2$被重复计算了，
所以实际道路占据的面积是$100x + 80x - x^2$。
或者可以理解为：剩余部分是一个长为$(100-x)$米，宽为$(80-x)$米的矩形，
所以剩余部分的面积是$(100-x)(80-x)$。
根据题意，绿化面积为$7644m^2$，所以可以得到方程：
$(100-x)(80-x)=7644$。
【答案】：C。

2. 从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下长方形的面积是$48m^2,$则原来这块木板的面积是(B)
$A. 100m^2$
$B. 64m^2$
$C. 121m^2$
$D. 144m^2$

答案： 解：设原来正方形木板的边长为 $ x $ m。
根据题意，锯掉2m宽的长方形木条后，剩下长方形的长为 $ x $ m，宽为 $ (x - 2) $ m，面积为 $ 48m^2 $，可得方程：
$ x(x - 2) = 48 $
整理得：
$ x^2 - 2x - 48 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 8)(x + 6) = 0 $
解得：
$ x_1 = 8, \, x_2 = -6 $（边长不能为负，舍去 $ x_2 = -6 $）
原来正方形木板的面积为：
$ x^2 = 8^2 = 64m^2 $
答案：B

3. 近两年某菜市场的猪肉价格逐渐增长,据统计,2018年猪肉单价为28元/千克,2020年猪肉单价为50元/千克,设猪肉单价的年平均增长率为x,则(C)
A.$14(1 + x) = 25$
B.$14(1 - x)^2 = 25$
C.$14(1 + x)^2 = 25$
D.$14(1 + x) + 14(1 + x)^2 = 25$

答案： 解：2018年猪肉单价为28元/千克，年平均增长率为x，
则2019年猪肉单价为28(1+x)元/千克，
2020年猪肉单价为$28(1+x)^2$元/千克。
已知2020年猪肉单价为50元/千克，可得方程：
$28(1+x)^2 = 50$
两边同时除以2，得$14(1+x)^2 = 25$
答案：C

4. 某工厂去年十月份生产零件50万个,为完成第四季度182万个零件的生产任务,该工厂提高了生产效率. 设该工厂十一、十二月份生产这种零件平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是$50 + 50(1 + x) + 50{(1 + x)}^{2} = 182$.

答案： 【解析】：
这是一个关于一元二次方程的应用题，主要考察如何根据实际问题建立一元二次方程。
题目给出了十月份生产零件的数量，以及第四季度需要完成的零件总数。
同时，题目设十一、十二月份生产零件的平均每月增长率为x，这是我们需要找的未知数。
根据题目，我们可以知道：
十月份生产了50万个零件。
十一月份生产的零件数为：$50(1+x)$万个，其中x为增长率。
十二月份生产的零件数为：$50(1+x)^2$万个，因为十二月份的增长是基于十一月份的生产量。
所以，第四季度总生产量为：$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$万个。
从中我们可以得到方程：$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$。
进一步整理，我们可以得到一元二次方程的标准形式来求解x。
【答案】：
$50 + 50(1 + x) + 50{(1 + x)}^{2} = 182$。

5. 如图,EF是一面足够长的墙,用总长为30米的木栅栏(图中的虚线)围一块矩形场地ABCD,中间用栅栏隔成同样三块,若要围成的矩形面积为60平方米,设垂直于墙的边长为x,则可列方程为$x(30 - 4x) = 60$.

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的实际应用-面积问题。
设垂直于墙的边长为$x$米，由于木栅栏总长是$30$米，且中间用栅栏隔成同样三块，那么平行于墙的边长（即$BC$）为$(30 - 4x)$米。
已知矩形面积为$60$平方米，根据矩形面积公式$S = \text{长}×\text{宽}$，这里长是平行于墙的边长$(30 - 4x)$米，宽是垂直于墙的边长$x$米，所以可列方程为$x(30 - 4x) = 60$。
【答案】：
$x(30 - 4x) = 60$

6. 某品牌的手机经过7,8月份连续两次降价,每部售价由2500元降到了1600元. 若每次下降的百分率相同,请解答：
(1)求每次下降的百分率；
(2)若9月份继续保持相同的百分率降价,则这种品牌的手机售价为多少元？

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用，具体是涉及到百分比降价的问题。
(1) 设每次降价的百分率为$x$，则经过两次降价后的价格可以表示为原价乘以$(1-x)$的平方。
根据题意，可以建立方程：
$2500(1 - x)^{2} = 1600$。
展开并整理得：
$(1-x)^2 = \frac{1600}{2500}$，
$(1-x)^2 = 0.64$，
$1 - 2x + x^2 = 0.64$，
$x^2 - 2x + 0.36 = 0$，
解这个一元二次方程，得到两个$x_1 = 0.2, x_2 = 1.8$。
由于降价百分率不可能超过$100\%$，所以$x_2 = 1.8$不符合实际情况，需要舍去。
因此，每次降价的百分率为$20\%$。
(2) 根据第一问求得的降价百分率，可以计算9月份继续降价后的价格。
价格可以表示为8月份的价格乘以$(1-0.2)$，即：
$1600 × (1 - 0.2) = 1280 \text{(元]}$。
所以，9月份这种品牌的手机售价为1280元。
【答案】：
(1) 每次下降的百分率为$20\%$；
(2) 若9月份继续保持相同的百分率降价,则这种品牌的手机售价为1280元。

7. 如图,某小区矩形绿地的长宽分别为35m、15m. 现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.
(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m,求新的矩形绿地的长与宽；
新的矩形绿地的长为40米，宽为20米
(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3. 求新的矩形绿地面积.
1500m²

答案： 【解析】：本题主要考查一元二次方程的应用，通过设立未知数，根据矩形面积公式列出方程来求解。
（1）
设将绿地的长、宽增加的长度为$x$米。
分析：原矩形绿地的长为$35$米，宽为$15$米，增加相同长度$x$米后，新的长为$(35 + x)$米，新的宽为$(15 + x)$米。已知扩充后的矩形绿地面积为$800$平方米，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$(35 + x)(15 + x) = 800$。
计算过程：
展开方程$(35 + x)(15 + x) = 800$得：
$35×15+35x + 15x + x^2 = 800$
$525 + 50x + x^2 = 800$
移项化为一元二次方程的一般形式为$x^2 + 50x - 275 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 50$，$c = -275$，可使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$求解，也可尝试因式分解。
对$x^2 + 50x - 275 = 0$因式分解得$(x + 55)(x - 5) = 0$。
则$x + 55 = 0$或$x - 5 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = -55$（长度不能为负，舍去）。
所以新的矩形绿地的长为$35 + 5 = 40$米，宽为$15 + 5 = 20$米。
（2）
设将绿地的长、宽增加的长度为$y$米。
分析：增加$y$米后，新的长为$(35 + y)$米，新的宽为$(15 + y)$米。已知新的矩形绿地的长宽之比为$5:3$，根据比例关系可列出方程$\frac{35 + y}{15 + y} = \frac{5}{3}$。
计算过程：
交叉相乘得$3(35 + y) = 5(15 + y)$。
展开括号得$105 + 3y = 75 + 5y$。
移项得$5y - 3y = 105 - 75$。
合并同类项得$2y = 30$，解得$y = 15$。
所以新的矩形绿地的长为$35 + 15 = 50$米，宽为$15 + 15 = 30$米。
根据矩形面积公式可得新的矩形绿地面积为$50×30 = 1500$平方米。
【答案】：（1）新的矩形绿地的长为$40$米，宽为$20$米；（2）$1500m^2$。