《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

圆内接四边形的对角互补.

答案： 【解析】：
本题考查的是圆内接四边形的性质。
根据圆内接四边形的性质，我们知道其对角是互补的，即两个对角的角度和为$180^\circ$。
【答案】：
互补。

1. 如图,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A= 70°,则∠C的度数为 (C)
A.70°
B.105°
C.110°
D.90°

答案： 【解析】：
本题考查圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补。
已知四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质可知，其对角互补，即$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$。
又已知$\angle A = 70^{\circ}$，将其代入$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$，可得$\angle C = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$。
【答案】：
C

2. 如图,点A、B、C在⊙O上,D是AB延长线上一点,若∠CBD= 55°,则∠AOC的度数为 (C)
A.100°
B.105°
C.110°
D.125°

答案： 【解析】：
本题考查的知识点是圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
点A、B、C在圆O上，∠CBD是圆周角，∠AOC是圆心角，它们所对的是同一条弧AC，
根据圆周角定理可得：∠CBD=$\frac{1}{2}$∠AOC的同弧所对圆周角，
∵∠CBD=55°，
∴∠AOC=2∠CBD=2×55°=110°。
【答案】：C

3. 如图,四边形ABCD是平行四边形,⊙O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE,若∠B= 76°,则∠AEC的度数为 (B)
A.76°
B.104°
C.108°
D.126°

答案： 【解析】：本题主要考查平行四边形的性质以及圆内接四边形的性质。
首先，由于四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，我们有$\angle D = \angle B = 76^\circ$（平行四边形对角相等，这里实际应为邻角互补，即$\angle D + \angle B = 180^\circ$，但题目已给出$\angle B = 76^\circ$，且我们需要的是$\angle D$的度数用于后续计算，而$\angle D$与$\angle B$互补的另一角在平行四边形中即为$\angle D$本身，这里表述上直接写$\angle D = \angle B$的度数是为了与题目保持一致性，实际上应理解为通过平行四边形性质得出$\angle D$的度数与$\angle B$相同，即$76^\circ$，用于后续圆内接四边形的计算）。
然后，由于$\angle AEC$是圆内接四边形$AECD$的一个外角，根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角，即$\angle AEC = 180^\circ - \angle D$（这里实际上应用的是圆内接四边形对角互补的性质，即$\angle AEC + \angle D = 180^\circ$，从而得出$\angle AEC = 180^\circ - \angle D$）。
将$\angle D = 76^\circ$代入上式，得到$\angle AEC = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$。
【答案】：B. $104^\circ$。

4. 在圆内接四边形ABCD中,若∠A、∠B、∠C的度数之比为4:3:5,则∠D的度数为120°.

答案： 【解析】：
本题考察的是圆内接四边形的性质。
根据圆内接四边形的性质，对角互补，即$\angle A + \angle C = 180^\circ$，$\angle B + \angle D = 180^\circ$。
已知$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的度数之比为$4:3:5$，设$\angle A = 4x$，$\angle B = 3x$，$\angle C = 5x$。
由于$\angle A + \angle C = 180^\circ$，代入得$4x + 5x = 180^\circ$，解得$x = 20^\circ$。
因此，$\angle B = 3x = 60^\circ$。
由于$\angle B + \angle D = 180^\circ$，代入$\angle B = 60^\circ$，得$\angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。
【答案】：
$\angle D = 120^\circ$。

5. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在BC的延长线上,若∠BOD= 110°,则∠DCE= 55°.

答案： 【解析】：根据题目中的信息，我们知道四边形ABCD内接于⊙O，且∠BOD=110°。
由于∠BOD是圆心角，而∠BAD是其所对的圆周角的一半，根据圆周角定理，我们可以得出∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BOD = 55°。
由于ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质，其对角互补，即∠BAD + ∠BCD = 180°。
由此，我们可以求出∠BCD = 180° - ∠BAD = 125°。
再根据邻补角的性质，即一个角与它的邻补角之和为180°，我们可以求出∠DCE = 180° - ∠BCD = 55°。
【答案】：∠DCE = $55^\circ$

6. 如图,在圆内接四边形ACBD中,DC= DB,M为CA延长线上一点. 求证：AD平分∠BAM.

答案： 【解析】：本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理的推论。
圆内接四边形的外角等于它的内对角，这是圆内接四边形的一个重要性质。
等腰三角形的两个底角相等，这是等腰三角形的基本性质。
同弧所对的圆周角相等，这是圆周角定理的推论。
我们可以按照以下步骤来证明$AD$平分$\angle BAM$：
根据圆内接四边形的性质，我们知道圆内接四边形的外角等于它的内对角。
所以，$\angle MAD=\angle DBC$（圆内接四边形$ACBD$的外角等于它的内对角）。
已知$DC = DB$，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等。
所以，$\angle DCB=\angle DBC$。
再根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等。
在圆中，弧$DB$所对的圆周角$\angle DCB$和$\angle DAB$相等，即$\angle DCB=\angle DAB$。
由前面的推理，我们得到$\angle MAD=\angle DBC$，$\angle DCB=\angle DBC$，$\angle DCB=\angle DAB$。
所以，通过等量代换，我们可以得出$\angle MAD=\angle DAB$。
即$AD$平分$\angle BAM$。
【答案】：证明：
∵四边形$ACBD$是圆内接四边形，
∴$\angle MAD=\angle DBC$（圆内接四边形$ACBD$的外角等于它的内对角），
∵$DC = DB$，
∴$\angle DCB=\angle DBC$（等边对等角），
∵$\angle DCB=\angle DAB$（同弧所对的圆周角相等），
∴$\angle MAD=\angle DAB$（等量代换），
∴$AD$平分$\angle BAM$。

7. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD、BC的延长线交于点E,AB、DC的延长线相交于点F,∠F= 30°,∠E= 50°. 求∠A的度数.

答案：

解: 在$\triangle ADF$中,$\angle A+\angle F+\angle ADF = 180^{\circ}$,

在$\triangle ABE$中,$\angle A+\angle E+\angle ABE = 180^{\circ}$,

$\therefore 2\angle A+\angle F+\angle E+\angle ADF+\angle ABE = 360^{\circ}$.

$\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,

$\therefore \angle ADF+\angle ABE = 180^{\circ}$.

又$\angle E = 50^{\circ}$,$\angle F = 30^{\circ}$,

$\therefore 2\angle A+30^{\circ}+50^{\circ}+180^{\circ} = 360^{\circ}$,

$\therefore \angle A = 50^{\circ}$.