《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 如果方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0,b^{2}-4ac\geqslant0) $ 的两个实数根是 $ x_{1} $、$ x_{2} $,那么 $ x_{1}+x_{2}= $$-\frac{b}{a}$,$ x_{1}\cdot x_{2}= $$\frac{c}{a}$.

答案： 【解析】：
题目考查了一元二次方程的根与系数的关系。对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$（其中$a \neq 0, b^{2} - 4ac \geqslant 0$），其两个实数根$x_{1}$和$x_{2}$与系数的关系为：根的和等于二次项系数的相反数除以一次项系数，根的积等于常数项除以二次项系数。
根据这些关系，我们可以直接写出答案。
【答案】：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$；
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$。

2. 一元二次方程根与系数的关系使用的前提条件：①$ b^{2}-4ac $$\geq$$ 0 $；②$ a $$\neq$$ 0 $.

答案： 【解析】：
这道题目考查了一元二次方程根与系数的关系使用的前提条件。对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，其根与系数的关系（韦达定理）使用的前提是方程有实根，即判别式$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$。同时，为了保证方程为二次方程，系数$a$不能为0。
【答案】：
①$\geq$
②$\neq$

1. 已知 $ x_{1} $、$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}+x - 3 = 0 $ 的两个根,则 $ x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2} $ 的值为 (B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $x^{2} + x - 3 = 0$，其中 $a = 1, b = 1, c = -3$。
根据上面的公式，可以得到：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{1}{1} = -1$，
$x_{1}x_{2} = \frac{-3}{1} = -3$，
所以，$x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2} = -1 - (-3) = 2$。
【答案】：
B. 2。

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x + k + 1 = 0 $,它的两根之积为 $ - 4 $.则 $ k $ 的值为 (D)
A.$ - 1 $
B.4
C.$ - 4 $
D.$ - 5 $

答案： 【解析】：
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，特别是根与常数项的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两根 $x_1$ 和 $x_2$ 的乘积为 $\frac{c}{a}$。
在本题中，方程为 $x^2 - 3x + k + 1 = 0$，其中 $a = 1, b = -3, c = k + 1$。
根据题目，两根之积为 $-4$，即：
$x_1 × x_2 = \frac{k + 1}{1} = -4$，
解这个方程，得到：
$k + 1 = -4$，
$k = -5$，
【答案】：
D. $-5$

3. 已知 $ x_{1} $、$ x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-3x - 2 = 0 $ 的两根,则 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $ 的值为 (D)
A.5
B.10
C.11
D.13

答案： 解：
∵$x_{1}$、$x_{2}$是方程$x^{2}-3x - 2 = 0$的两根，
∴由根与系数的关系得：$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-2$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=3^{2}-2×(-2)=9 + 4=13$。
答案：D

4. (1)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+kx - 2 = 0 $ 的一个根是 $ x = 2 $,则另外一个根为-1.
(2)若 $ m $、$ n $ 是方程 $ x^{2}+2024x - 1 = 0 $ 的两个实数根,则 $ m^{2}n + mn^{2}-mn = $2025.

答案：
(1)解：设方程的另一个根为$x_1$，
由根与系数的关系得：$2x_1=-2$，
解得$x_1=-1$。
(2)解：因为$m$、$n$是方程$x^{2}+2024x - 1 = 0$的两个实数根，
所以$m + n=-2024$，$mn=-1$，
则$m^{2}n + mn^{2}-mn=mn(m + n)-mn=mn(m + n - 1)$
$=(-1)×(-2024 - 1)=(-1)×(-2025)=2025$。
(1)-1
(2)2025

5. 写出一个根为 1 和 3 的一元二次方程：$x^2 - 4x + 3 = 0$.

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系。
已知一元二次方程的两个根为$x_1$和$x_2$，则这个一元二次方程可以表示为：
$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$
其中，a是方程的系数且$a \neq 0$。
将给定的根1和3代入上述公式，得到：
$(x - 1)(x - 3) = 0$
这就是一个根为1和3的一元二次方程。
为了得到一个更标准的形式，我们可以将上述方程展开并乘以一个常数（例如1），得到：
$x^2 - 4x + 3 = 0$
【答案】：
$x^2 - 4x + 3 = 0$

6. 不解方程,求下列方程两根的和与积.
(1)$ 2x^{2}+3x - 5 = 0 $； (2)$ x^{2}-3x + 1 = 0 $；
(3)$ (x + 1)(x - 2)= 4 $； (4)$ x(x - 2)+1 = 0 $.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其两根的和为$-\frac{b}{a}$，两根的积为$\frac{c}{a}$。
(1) 对于方程$2x^2 + 3x - 5 = 0$，其中$a = 2, b = 3, c = -5$，所以两根的和为$-\frac{3}{2}$，两根的积为$-\frac{5}{2}$。
(2) 对于方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，其中$a = 1, b = -3, c = 1$，所以两根的和为3，两根的积为1。
(3) 对于方程$(x + 1)(x - 2) = 4$，展开后得到$x^2 - x - 6 = 0$，其中$a = 1, b = -1, c = -6$，所以两根的和为1，两根的积为-6。
(4) 对于方程$x(x - 2) + 1 = 0$，展开后得到$x^2 - 2x + 1 = 0$，其中$a = 1, b = -2, c = 1$，所以两根的和为2，由于方程有两个相等的实数根，所以两根的积也为1，也可以表示为$x_1 = x_2 = 1$，则$x_1 × x_2 = 1× 1 = 1$。
【答案】：
(1) 两根的和为$-\frac{3}{2}$，两根的积为$-\frac{5}{2}$；
(2) 两根的和为3，两根的积为1；
(3) 两根的和为1，两根的积为-6；
(4) 两根的和为2，两根的积为1。

7. 若 $ x_{1} $、$ x_{2} $ 是方程 $ x^{2}+2x - 1 = 0 $ 的两个根,试求下列各式的值：
(1)$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $； (2)$ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $；
(3)$ (x_{1}-5)(x_{2}-5) $； (4)$ |x_{1}-x_{2}| $.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简和计算。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，则有：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
对于给定的方程 $x^2 + 2x - 1 = 0$，其系数 $a = 1, b = 2, c = -1$，所以：
$x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{1} = -1$
(1) 求 $x_1^2 + x_2^2$
利用平方差公式，我们有：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入 $x_1 + x_2 = -2$ 和 $x_1 \cdot x_2 = -1$，得到：
$x_1^2 + x_2^2 = (-2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$
(2) 求 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$
利用分数的加法公式，我们有：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
代入 $x_1 + x_2 = -2$ 和 $x_1 \cdot x_2 = -1$，得到：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-2}{-1} = 2$
(3) 求 $(x_1 - 5)(x_2 - 5)$
利用乘法分配律，我们有：
$(x_1 - 5)(x_2 - 5) = x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) + 25$
代入 $x_1 + x_2 = -2$ 和 $x_1 \cdot x_2 = -1$，得到：
$(x_1 - 5)(x_2 - 5) = -1 - 5(-2) + 25 = -1 + 10 + 25 = 34$
(4) 求 $|x_1 - x_2|$
首先，我们利用完全平方公式求出 $(x_1 - x_2)^2$ 的值：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
代入 $x_1 + x_2 = -2$ 和 $x_1 \cdot x_2 = -1$，得到：
$(x_1 - x_2)^2 = (-2)^2 - 4(-1) = 4 + 4 = 8$
所以，$|x_1 - x_2| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
【答案】：
(1) $x_1^2 + x_2^2 = 6$
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2$
(3) $(x_1 - 5)(x_2 - 5) = 34$
(4) $|x_1 - x_2| = 2\sqrt{2}$