《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 下列一元二次方程中两根之和为 $ - 4 $ 的是 ( C )
A.$ x^{2}-4x + 4 = 0 $
B.$ x^{2}+2x - 4 = 0 $
C.$ x^{2}+4x - 5 = 0 $
D.$ x^{2}+4x + 10 = 0 $

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两根 $x_1$ 和 $x_2$ 的和是 $-\frac{b}{a}$。
A. $x^2 - 4x + 4 = 0$
这里 $a = 1, b = -4$，所以两根之和为 $-\frac{-4}{1} = 4$，不符合题意。
B. $x^2 + 2x - 4 = 0$
这里 $a = 1, b = 2$，所以两根之和为 $-\frac{2}{1} = -2$，不符合题意。
C. $x^2 + 4x - 5 = 0$
这里 $a = 1, b = 4$，所以两根之和为 $-\frac{4}{1} = -4$，符合题意。
D. $x^2 + 4x + 10 = 0$
这里需要判断判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 × 1 × 10 = 16 - 40 = -24 ＜ 0$，因为判别式小于0，所以方程无实数根，不符合题意。
【答案】：
C

9. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-8x + m = 0 $ 的两根为 $ x_{1} $、$ x_{2} $,且 $ 3x_{1}+2x_{2}= 18 $,则 $ m = $______12.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = 8$ （因为方程的系数是-8，所以两根之和为-(-8)=8），
$x_{1} \cdot x_{2} = m$ （因为常数项是m，所以两根之积为m），
根据题目给出的条件 $3x_{1} + 2x_{2} = 18$，我们可以得到另一个方程。
现在我们有一个方程组：
$\begin{cases}x_{1} + x_{2} = 8, \\3x_{1} + 2x_{2} = 18.\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
从第一个方程中解出 $x_{2} = 8 - x_{1}$，
代入第二个方程 $3x_{1} + 2(8 - x_{1}) = 18$，
解得 $x_{1} = 2$，
再代入 $x_{2} = 8 - x_{1}$，解得 $x_{2} = 6$，
最后，利用 $x_{1} \cdot x_{2} = m$，我们得到 $m = 2 × 6 = 12$。
【答案】：
$m = 12$。

10. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x - 3m^{2}= 0 $.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 $ \alpha $,$ \beta $,且 $ \alpha + 2\beta = 5 $,求 $ m $ 的值.

答案： 【解析】：
(1) 对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程 $x^2 - 2x - 3m^2 = 0$，其系数分别为 $a = 1, b = -2, c = -3m^2$。
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-3m^2) = 4 + 12m^2$
由于 $m^2$ 总是非负的，所以 $12m^2 \geq 0$，进而有 $\Delta = 4 + 12m^2 ＞ 0$。
因此，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若其两个根为 $\alpha$ 和 $\beta$，则有：
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$
对于方程 $x^2 - 2x - 3m^2 = 0$，其两个根 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足：
$\alpha + \beta = 2$
$\alpha\beta = -3m^2$
又因为 $\alpha + 2\beta = 5$，我们可以得到以下方程组：
$\begin{cases}\alpha + \beta = 2 \\\alpha + 2\beta = 5\end{cases}$
解这个方程组，得到：
从第二个方程中减去第一个方程，得：
$\beta = 3$
将 $\beta = 3$ 代入第一个方程，得：
$\alpha = -1$
将 $\alpha = -1$ 和 $\beta = 3$ 代入 $\alpha\beta = -3m^2$，得到：
$-3 = -3m^2$
解得 $m^2 = 1$，所以 $m = \pm 1$。
【答案】：
(1) 证明见解析，方程总有两个不相等的实数根。
(2) $m = \pm 1$。

11. 如果 $ m $、$ n $ 是两个不相等的实数,且满足 $ m^{2}-2m = 1 $,$ n^{2}-2n = 1 $,那么代数式 $ m + n - mn $ 的值是3.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
由于$m$和$n$是两个不相等的实数，且满足$m^{2} - 2m = 1$和$n^{2} - 2n = 1$，
我们可以推断$m$和$n$是方程$x^{2} - 2x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
根的和：$m + n = -\frac{b}{a} = 2$（其中$a=1, b=-2$）
根的积：$mn = \frac{c}{a} = -1$（其中$c=-1$）
所以，代数式$m + n - mn$的值为：
$m + n - mn = 2 - (-1) = 3$
【答案】：
3

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}-2k + 3 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求实数 $ k $ 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为 $ x_{1} $、$ x_{2} $,是否存在这样的实数 $ k $,使得 $ |x_{1}|-|x_{2}|= \sqrt{5} $？若存在,求出这样的 $ k $ 值；若不存在,说明理由.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的判别式以及根与系数的关系。
(1) 要求方程有两个不相等的实数根，需满足判别式Δ＞0。
(2) 利用根与系数的关系，结合绝对值条件求解k的值。
步骤解析：
1. 求k的取值范围：
方程为 $x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2k + 3 = 0$，判别式Δ为：
$ \Delta = [-(2k - 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 - 2k + 3) $$ 展开并化简： $
\Delta = (2k - 1)^2 - 4(k^2 - 2k + 3) = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 8k - 12 = 4k - 11
$$
由Δ ＞ 0得：
$ 4k - 11 ＞ 0 \implies k ＞ \frac{11}{4} $$ 2. 验证是否存在k使 $|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$： 根据根与系数关系： $
x_1 + x_2 = 2k - 1, \quad x_1x_2 = k^2 - 2k + 3
$$
假设存在k满足条件，平方两边得：
$ (|x_1| - |x_2|)^2 = 5 \implies x_1^2 + x_2^2 - 2|x_1x_2| = 5 $$ 利用 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得： $
(2k - 1)^2 - 2(k^2 - 2k + 3) - 2|k^2 - 2k + 3| = 5
$$
化简后分情况讨论：
当 $k^2 - 2k + 3 \geq 0$（恒成立），方程简化为：
$ 2k^2 - 4k + 10 = 0 \quad \text{（无实根）} $$ 当 $k^2 - 2k + 3 ＜ 0$（无解），无需考虑。 进一步分析根的符号： 若两根同号，$|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$ 转化为 $x_1 - x_2 = \sqrt{5}$，平方后得： $
(x_1 - x_2)^2 = 5 \implies \Delta = 5 \implies 4k - 11 = 5 \implies k = 4
$$
验证k=4时，方程为 $x^2 - 7x + 11 = 0$，根为 $\frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$，满足条件。
【答案】：
(1) 实数 $k$ 的取值范围为 $\boxed{k ＞ \dfrac{11}{4}}$；
(2) 存在这样的实数 $k$，其值为 $\boxed{4}$。