《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. $n^{\circ}的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= $$\frac{n\pi R}{180}$.
2. 扇形的面积公式$S= $$\frac{n\pi R^{2}}{360}$$=$$\frac{1}{2}lR$.

答案： 【解析】：
本题主要考察弧长及扇形的面积的计算公式。
对于第一个问题，需要知道弧长$l$与圆心角$n$和半径$R$的关系。这个关系可以用公式表示为：
$l = \frac{n\pi R}{180}$，
其中，$n$是圆心角的度数，$R$是半径。
对于第二个问题，需要知道扇形面积$S$的两种表示方法。
第一种方法是通过圆心角和半径来计算，公式为：
$S = \frac{n\pi R^2}{360}$，
第二种方法是通过弧长和半径来计算，公式为：
$S = \frac{1}{2}lR$，
其中，$l$是弧长，$R$是半径。
【答案】：
$ \frac{n\pi R}{180}$；$\frac{n\pi R^{2}}{360}$；$\frac{1}{2}lR$

1. 如图,一段公路的转弯处是一段弧$AB$,则弧$AB$的长度为 (C)
A.$3\pi m$
B.$9\pi m$
C.$6\pi m$
D.$12\pi m$

答案： 【解析】：
本题考查了弧长公式的运用，通过给定的半径和圆心角，利用弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$l$表示弧长，$n$表示圆心角角度数，$r$表示半径）来计算弧$AB$的长度。
已知半径$R = 10m$，圆心角$n=108^{\circ}$，将其代入弧长公式可得：
$l=\frac{n\pi r}{180}=\frac{108×\pi×10}{180}$。
先计算$108×10 = 1080$，再计算$\frac{1080\pi}{180}=6\pi(m)$。
【答案】：$6\pi m$，选C。

2. 如图,$AB$是半圆的直径,$AB = 2$,$\angle B = 30^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BC}$的长为 (B)
A.$\frac{1}{3}\pi$
B.$\frac{2}{3}\pi$
C.$\pi$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 【解析】：
本题考查的是弧长的计算。
首先，由于$AB$是半圆的直径，且$AB=2$，
所以半径$r=1$。
连接$OC$，由于$OC$和$OB$都是半径，所以$OC=OB=1$。
由于$\angle B=30^{\circ}$，
根据等腰三角形的性质，
则$\angle OCB=\angle B=30^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
所以$\angle BOC =180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$。
由于$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$\angle BOC$，
所以根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，
可得$\overset{\frown}{BC}$的长为：$\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
所以，答案为B。
【答案】：B

3. 已知圆上一段弧长为$5\pi$,它所对的圆心角为$100^{\circ}$,则该圆的半径为 (B)
A.6
B.9
C.12
D.18

答案： 【解析】：
本题主要考察弧长公式的应用。
弧长公式为：$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$l$是弧长，$n$是圆心角，$r$是半径。
根据题目，弧长$l = 5\pi$，圆心角$n = 100^{\circ}$。
将这些值代入弧长公式，我们得到方程：
$5\pi = \frac{100\pi r}{180}$
解这个方程，我们可以找到半径$r$。
【答案】：
解：
根据弧长公式，我们有
$5\pi = \frac{100\pi r}{180}$
解这个方程，我们得到
$r = \frac{180 × 5\pi}{100\pi}$
$r = 9$
故答案为：B. $9$。

4. (1)已知一个扇形的圆心角为$90^{\circ}$,半径为$3cm$,则这个弧长为$\frac{3\pi}{2}$$cm$；
(2)已知扇形的圆心角是$30^{\circ}$,半径是$6cm$,则扇形的弧长是$\pi$$cm$,面积是$3\pi$$cm^{2}$；
(3)已知扇形面积是$12cm^{2}$,半径为$8cm$,则扇形的弧长为$3$$cm$.

答案： 【解析】：
本题主要考察弧长及扇形的面积的计算方法。
(1) 已知扇形的圆心角为$90^{\circ}$，半径为$3cm$，根据弧长公式：
$l = \frac{n\pi r}{180}$
其中，$l$ 是弧长，$n$ 是圆心角，$r$ 是半径。代入已知条件，得：
$l = \frac{90\pi × 3}{180} = \frac{3\pi}{2}cm$
(2) 已知扇形的圆心角为$30^{\circ}$，半径为$6cm$，同样使用弧长公式计算弧长，得：
$l = \frac{30\pi × 6}{180} = \pi cm$
接着，使用扇形面积公式：
$S = \frac{1}{2}lr$
其中，$S$ 是面积，$l$ 是弧长，$r$ 是半径。代入已知的弧长和半径，得：
$S = \frac{1}{2} × \pi × 6 = 3\pi cm^{2}$
(3) 已知扇形面积为$12cm^{2}$，半径为$8cm$，使用扇形面积公式反推弧长，得：
$S = \frac{1}{2}lr$
$12 = \frac{1}{2} × l × 8$
解得：
$l = 3cm$
【答案】：
(1) $\frac{3\pi}{2}$
(2) $\pi$；$3\pi$
(3) $3$

5. 若一扇形的面积为$12\pi$,半径为$6$,则它的圆心角的度数为$120^\circ$.

答案： 【解析】：
本题主要考查扇形面积与圆心角的关系。
根据扇形面积公式：$S = \frac{n\pi r^2}{360}$，
其中$S$是扇形面积，$n$是圆心角的度数，$r$是半径。
题目给出扇形面积为$12\pi$，半径为$6$，代入公式得：
$12\pi = \frac{n\pi × 6^2}{360}$，
化简得：
$12\pi = \frac{n\pi × 36}{360}$，
进一步化简得：
$12\pi = \frac{n\pi}{10}$，
解这个方程，我们得到：
$n = 120$。
【答案】：
$120^\circ$。

6. 如图,$A为\odot O$外一点,$OA交\odot O于点C$,$AB是\odot O$的切线,$B$是切点,$\angle A = 30^{\circ}$,$\overset{\frown}{BC}的长为\frac{4}{3}\pi$,求阴影部分的面积.

答案： 【解析】：本题主要考查了切线的性质、弧长公式以及扇形面积的计算。
先根据切线的性质得出$\angle ABO = 90^{\circ}$，再利用三角形内角和为$180^{\circ}$求出$\angle AOB$的度数，然后根据弧长公式求出圆的半径，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积。
连接$OB$。
$\because AB$是$\odot O$的切线，$B$是切点，
$\therefore OB\perp AB$，即$\angle ABO = 90^{\circ}$。
$\because \angle A = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABO = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$。
设$\odot O$的半径为$r$。
已知$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{4}{3}\pi$，$\angle BOC = \angle AOB = 60^{\circ}$（对顶角相等），
根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得$\frac{60\pi r}{180} = \frac{4}{3}\pi$，
解方程$\frac{60\pi r}{180} = \frac{4}{3}\pi$，
两边同时除以$\pi$得$\frac{60r}{180} = \frac{4}{3}$，
交叉相乘得$60r×3 = 4×180$，
即$180r = 720$，
解得$r = 4$。
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$OB = r = 4$，
根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$OA = 2OB = 8$，
再根据勾股定理$AB = \sqrt{OA^{2} - OB^{2}} = \sqrt{8^{2} - 4^{2}} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。
所以${S}_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}× AB× OB = \frac{1}{2}× 4\sqrt{3}× 4 = 8\sqrt{3}$。
${S}_{扇形BOC}=\frac{60\pi× {4}^{2}}{360}=\frac{16\pi}{6}=\frac{8\pi}{3}$。
则阴影部分的面积${S}_{阴影} = {S}_{\triangle ABO} - {S}_{扇形BOC} = 8\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3}$。
【答案】：$8\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3}$。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,以边$BC为直径的\odot O与边AB交于点D$,与边$AC交于点E$,连接$OD$、$OE$.
(1)求证：$BD = CE$；
(2)若$\angle C = 55^{\circ}$,$BC = 10$,求扇形$DOE$的面积.

答案： 【解析】：
(1)本题可通过证明$\triangle BOD$和$\triangle COE$全等来证明$BD = CE$，利用等腰三角形的性质以及圆的性质得到全等所需的条件。
(2)要求扇形$DOE$的面积，需要先求出圆心角$\angle DOE$的度数，再根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）进行计算。
【答案】：
(1)证明：
连接$OB$、$OC$。
因为$OB = OC$（圆的半径相等），$AB = AC$（已知），根据等腰三角形三线合一的性质，可知$\angle ABC = \angle ACB$。
因为$OB = OC$，$OE = OC$，$OD = OB$（圆的半径相等），所以$\angle OBC = \angle OCB$，$\angle OEC = \angle OCE$，$\angle ODB = \angle OBD$。
所以$\angle OBD - \angle ABC = \angle OCE - \angle ACB$，即$\angle BOD = \angle COE$（等边对等角及三角形内角和定理）。
在$\triangle BOD$和$\triangle COE$中，
$\begin{cases}OB = OC\\\angle BOD = \angle COE\\OD = OE\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle BOD\cong\triangle COE$。
所以$BD = CE$。
(2)因为$AB = AC$，$\angle C = 55^{\circ}$，所以$\angle ABC = \angle C = 55^{\circ}$。
由三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 55^{\circ} = 70^{\circ}$。
因为$OB = OD$，$OC = OE$，所以$\angle B = \angle ODB = 55^{\circ}$，$\angle C = \angle OEC = 55^{\circ}$。
则$\angle AOD = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 55^{\circ} = 70^{\circ}$，$\angle AOE = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 55^{\circ} = 70^{\circ}$。
所以$\angle DOE = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$。
已知$BC = 10$，则圆$O$的半径$r = \frac{BC}{2} = 5$。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$，可得扇形$DOE$的面积为：
$S_{扇形DOE}=\frac{40\pi×5^{2}}{360}=\frac{40\pi×25}{360}=\frac{25\pi}{9}$。
综上，答案为
(1)证明见上述过程；
(2)$\frac{25\pi}{9}$。