《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长.
2. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.

答案： 【解析】：
本题考查的是对圆的切线长的理解以及切线长定理的应用。
对于第一个空，需要理解切线长的定义，即从圆外一点引到圆的切线上，该点与切点之间的线段的长度，就是这点到圆的切线长。
对于第二个空，需要应用切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
【答案】：
1. 线段
2. 相等

1. 如图,从$\odot O外一点P引\odot O的两条切线PA$、$PB$,切点分别为$A$、$B$. 如果$∠APB = 60^{\circ}$,$PA = 8$,那么弦$AB$的长是(B)

A.4
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$

答案： 【解析】：本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质。
因为$PA$，$PB$是$\odot O$的切线，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
所以可得$PA = PB$。
已知$\angle APB = 60^{\circ}$，
有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，
所以$\triangle PAB$是等边三角形。
因为等边三角形的三条边都相等，且已知$PA = 8$，
所以$AB = PA = 8$。
但考虑到弦$AB$是等边三角形$\triangle PAB$的一边，
也可通过三角函数或特殊角的性质进一步验证或求解相关量（虽然本题直接得出即可）。
由于$\triangle PAB$是等边三角形，
所以弦$AB$的长就是等边三角形的边长，即$8$，
如果求弦$AB$在圆内所对应的一些其他量（如弦心距等），
则会用到如$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$等三角函数值，
而本题直接求弦$AB$长，只需利用等边三角形性质。
【答案】：B

2. 如图,$PA$、$PB为圆O$的切线,切点分别为$A$、$B$,$PO交AB于点C$,$PO的延长线交圆O于点D$,下列结论不一定成立的是(D)
A.$PA = PB$
B.$∠BPD = ∠APD$
C.$AB⊥PD$
D.$AB平分PD$

答案： 解：
∵PA、PB为圆O的切线，
∴PA=PB（切线长定理），∠BPD=∠APD（切线长定理），
∴PD垂直平分AB（等腰三角形三线合一），即AB⊥PD，
故A、B、C成立；
PD为圆O的割线，AB与PD交于点C，OC不一定等于CD，
∴AB不一定平分PD，D不一定成立。
答案：D

3. 如图,$P为\odot O$外一点,$PA$、$PB分别切\odot O于点A$、$B$,$CD切\odot O于点E且分别交PA$、$PB于点C$、$D$,若$\triangle PCD的周长为8$,则$PA$的长为(C)

A.2
B.3
C.4
D.8

答案： 【解析】：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
所以$PA=PB$，$CA=CE$，$DB=DE$。
$\triangle PCD$的周长为$PC + CD + PD$，
又$CD=CE + DE$，所以$\triangle PCD$的周长可转化为$PC + CA+DB + PD$，
即$(PC + CA)+(PD + DB)=PA + PB$。
已知$\triangle PCD$的周长为$8$，也就是$PA + PB = 8$，
因为$PA=PB$，所以$PA=\frac{8}{2}=4$。
【答案】：C

4. 如图,$PA$、$PB是\odot O$的切线,$A$、$B$为切点,$∠OAB = 38^{\circ}$,则$∠P$的度数为$76^{\circ}$.

答案： 【解析】：本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及四边形内角和定理。
先根据切线的性质得到$OA\perp PA$，$OB\perp PB$，再根据等腰三角形的性质求出$\angle AOB$的度数，最后利用四边形内角和定理求出$\angle P$的度数。
【答案】：
解：$\because PA$、$PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore OA\perp PA$，$OB\perp PB$，
即$\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}$。
$\because OA = OB$，
$\therefore \triangle OAB$是等腰三角形，
$\therefore \angle OBA = \angle OAB = 38^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB = 180^{\circ} - 38^{\circ} × 2 = 104^{\circ}$。
$\because \angle P + \angle OAP + \angle AOB + \angle OBP = 360^{\circ}$，
$\therefore \angle P = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$。
故答案为$76^{\circ}$。

5. 如图,四边形$ABCD的边AB$、$BC$、$CD$、$DA和\odot O分别切于点L$、$M$、$N$、$P$,且$AB = 10cm$,$CD = 5cm$,则四边形$ABCD$周长为____30$cm$.

答案： 【解析】：
本题考查切线长定理的应用，即从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，根据这一性质，可得出四边形$ABCD$的边与切线长的关系，进而求出四边形的周长。
已知四边形$ABCD$的边$AB$、$BC$、$CD$、$DA$分别与$\odot O$相切于点$L$、$M$、$N$、$P$。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
可得$AL = AP$，$BL = BM$，$CM = CN$，$DN = DP$。
四边形$ABCD$的周长为$AB + BC + CD + DA$，将$BC = BM + CM$，$DA = DP + AP$代入可得：
$AB + BC + CD + DA = AB + (BM + CM) + CD + (DP + AP)$。
再把$AL = AP$，$BL = BM$，$CM = CN$，$DN = DP$代入上式，可得：
$AB + (BL + CN) + CD + (DN + AL)$。
整理可得$(AB + AL + BL) + (CD + CN + DN)$，即$(AB + AB) + (CD + CD)=2AB + 2CD$。
已知$AB = 10cm$，$CD = 5cm$，将其代入$2AB + 2CD$可得：
$2×10 + 2×5 = 20 + 10 = 30(cm)$。
【答案】：$30$。

6. 如图,$PM是\odot O$的切线,切点是$A$,$B$、$C$、$D是\odot O$上的点,$PA = PB$.
(1)求证：$PB是\odot O$的切线；
(2)若$∠C = 92^{\circ}$,$∠MAD = 40^{\circ}$,求$∠P$的度数.

答案：
(1)证明：连接OA、OB。
∵PM是⊙O的切线，切点是A，
∴OA⊥PM，即∠OAP=90°。
∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP(SSS)。
∴∠OBP=∠OAP=90°。
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线。
(2)解：
∵PM是⊙O的切线，
∴∠OAD=∠C=92°。
∵∠MAD=40°，
∴∠OAM=∠OAD - ∠MAD=92° - 40°=52°。
∵∠OAP=90°，
∴∠PAM=∠OAP - ∠OAM=90° - 52°=38°。
∵PA=PB，PB是⊙O的切线，
∴∠PBA=∠PAB=∠PAM=38°。
∴∠P=180° - ∠PAB - ∠PBA=180° - 38° - 38°=104°。