《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. (1) 直线与圆有两个公共点时,叫作直线与圆相交;
(2) 直线与圆只有一个公共点时,叫作直线与圆相切,这条直线叫作圆的切线,这个公共点叫作切点;
(3) 直线与圆没有公共点时,叫作直线与圆相离.
2. 如果$\odot O$的半径为$r$,圆心$O$到直线$l$的距离$d$,那么
(1) 直线$l$与$\odot O$相交$\Leftrightarrow d$$＜$$r$;
(2) 直线$l$与$\odot O$相切$\Leftrightarrow d$$=$$r$;
(3) 直线$l$与$\odot O$相离$\Leftrightarrow d$$＞$$r$.

答案： 【解析】：
本题考查的是直线与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系与数量之间的关系。
对于第一个问题，主要依据直线与圆的位置关系定义来解答：
直线与圆相交，即直线穿过圆，有两个交点。
直线与圆相切，即直线恰好碰到圆的边缘，只有一个交点，这条直线被称为切线，这个交点被称为切点。
直线与圆相离，即直线与圆没有交点。
对于第二个问题，需要通过圆心到直线的距离d与圆的半径r的比较来判断直线与圆的位置关系：
如果$d ＜ r$，则直线与圆相交。
如果$d = r$，则直线与圆相切。
如果$d ＞ r$，则直线与圆相离。
【答案】：
(1) 两
(2) 一；切线；切点
(3) 相离
(2)
(1) $＜$
(2) $=$
(3) $＞$

1. 若$\odot O$的半径为 8,圆心$O$到直线$l$的距离为 4,则直线$l$与$\odot O$的位置关系是 (B)
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题考查直线与圆的位置关系。根据直线与圆的位置关系判定：
设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，
当$d \gt r$时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点；
当$d = r$时，直线与圆相切，直线与圆有且只有一个公共点；
当$d \lt r$时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点。
已知圆$O$的半径$r = 8$，圆心$O$到直线$l$的距离$d = 4$，因为$4\lt 8$，即$d\lt r$，所以直线$l$与圆$O$相交。
【答案】：B

2. 若直线$l$与半径为$r$的$\odot O$相离,且点$O$到直线$l$的距离为 3,则$r$的取值范围是 (A)
A.$r＜3$
B.$r=3$
C.$r＞3$
D.$r\geqslant3$

答案： 解：直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径。已知点O到直线l的距离为3，所以r＜3。
答案：A

3. 以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角平分线的长为半径的圆,必与底边 (C)
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定

答案： 【解析】：
本题考查直线与圆的位置关系，具体是考察等腰三角形与以顶角平分线为半径的圆的位置关系。
首先，明确等腰三角形的性质：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一。
设等腰三角形为$\bigtriangleup ABC$，其中$AB = AC$，顶角为$\angle BAC$，顶角的平分线为$AD$，$D$为底边$BC$上的点。
由等腰三角形的性质，$AD$也是$BC$上的高，即$AD \perp BC$。
接下来，考虑以$A$为圆心，$AD$为半径的圆。
由于$AD$是底边$BC$上的高，根据直线与圆的位置关系，当直线与圆的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。
因此，在这个特定情况下，底边$BC$与以$A$为圆心，$AD$为半径的圆相切。
【答案】：
C.相切。

4. 如图,$\odot P$的半径为 2,圆心$P$在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图像上运动,当点$P$的坐标为$(3, 2)$时,$\odot P$与$x$轴相切.

答案： 【解析】：
本题主要考查直线与圆的位置关系，特别是圆与x轴相切的条件。
圆与x轴相切意味着圆心到x轴的距离等于圆的半径。
已知圆的半径为2，因此圆心到x轴的距离也应该是2。
设圆心$P$的坐标为$(x, y)$，由于$P$在函数$y = \frac{6}{x}$上，我们有$y = \frac{6}{x}$。
又因为圆与x轴相切，所以圆心的纵坐标$y$就是圆的半径，即$y = 2$。
将$y = 2$代入$y = \frac{6}{x}$，得到方程$\frac{6}{x} = 2$。
解这个方程，我们得到$x = 3$。
所以，当点$P$的坐标为$(3, 2)$时，$\odot P$与x轴相切。
【答案】：
$(3, 2)$。

5. 在$\triangle ABC$中,$AB=5\mathrm{cm}$,$AC=4\mathrm{cm}$,$BC=3\mathrm{cm}$,如果以点$C$为圆心、2 cm 长为半径作圆,则$\odot C$与$AB$相离;如果以点$C$为圆心、3 cm 长为半径作圆,则$\odot C$与$AB$相交;若使$\odot C$与$AB$相切,则$\odot C$的半径应该为$2.4\mathrm{cm}$（或 $\frac{12}{5}\mathrm{cm}$）.

答案： 【解析】：
本题主要考察直线与圆的位置关系，特别是相切的情况。在$\triangle ABC$中，已知三边长度，可以利用勾股定理判断是否为直角三角形，进而确定直线AB与以C为圆心的圆的位置关系。
首先，根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。将$AB$,$AC$,$BC$的长度代入，验证是否满足勾股定理，从而判断$\triangle ABC$是否为直角三角形。
然后，根据直线与圆的位置关系：
如果直线与圆的距离小于半径，则直线与圆相交；
如果直线与圆的距离等于半径，则直线与圆相切；
如果直线与圆的距离大于半径，则直线与圆相离。
由于$C$是圆心，可以通过计算点$C$到直线$AB$的距离，与给定的半径进行比较，来判断圆与直线$AB$的位置关系。
最后，若要使圆与直线$AB$相切，需要调整圆的半径使其等于点$C$到直线$AB$的距离。
【答案】：
首先，我们验证$\triangle ABC$是否为直角三角形。
由于$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，
根据勾股定理，$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C = 90^\circ$。
当以点$C$为圆心、$2\text{cm}$为半径作圆时，
由于点$C$到直线$AB$的距离（即斜边上的高）大于$2\text{cm}$（实际上，这个距离是$\frac{12}{5}\text{cm}$，通过面积与底边计算可得），
所以$\odot C$与$AB$相离。
当以点$C$为圆心、$3\text{cm}$为半径作圆时，
由于点$C$到直线$AB$的距离小于$3\text{cm}$，
所以$\odot C$与$AB$相交。
若要使$\odot C$与$AB$相切，需要使圆的半径等于点$C$到直线$AB$的距离，
即$\frac{12}{5}\text{cm}$（或$2.4\text{cm}$）。
故答案为：相离；相交；$2.4\text{cm}$（或 $\frac{12}{5}\text{cm}$）。

6. 如图,等边三角形$ABC$的边长为$6\sqrt{3}\mathrm{cm}$,$AD$是高,若以点$D$为圆心,$r$为半径作圆,试分别确定$\odot D$与直线$AB$有怎样的位置关系? 为什么?
(1)$r=3\mathrm{cm}$;(2)$r=4.5\mathrm{cm}$;(3)$r=6\mathrm{cm}$.

答案： 【解析】：本题主要考查直线与圆的位置关系，关键在于求出圆心$D$到直线$AB$的距离$d$，再与圆的半径$r$比较大小，从而确定位置关系。
对于等边三角形，根据三线合一的性质可知，高$AD$也是角平分线和中线。
已知等边三角形$ABC$的边长为$6\sqrt{3}cm$，$AD$是高，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle BAD = 30^{\circ}$，$BD=\frac{1}{2}BC = 3\sqrt{3}cm$。
根据勾股定理可求出$AD$的长度，进而得到圆心$D$到直线$AB$的距离$d$（即$D$到$AB$的垂线段长度）。
设圆心$D$到直线$AB$的距离为$d$，在$Rt\triangle ABD$中，$BD = 3\sqrt{3}cm$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$d = BD\sin60^{\circ}=3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}= 4.5cm$。
根据直线与圆的位置关系判定：
当$d\gt r$时，直线与圆相离；
当$d = r$时，直线与圆相切；
当$d\lt r$时，直线与圆相交。
【答案】：
解：在等边$\triangle ABC$中，$AD$是高，
$\therefore AD$也是$BC$边上的中线和$\angle BAC$的平分线，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}=3\sqrt{3}(cm)$，
在$Rt\triangle ABD$中，
$AD = \sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{3})^{2}}=9(cm)$，
设$D$到$AB$的距离为$d$，
由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}AB\cdot d=\frac{1}{2}BD\cdot AD$，
即$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}d=\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×9$，
解得$d = 4.5cm$。
(1)当$r = 3cm$时，
$\because d = 4.5cm\gt3cm = r$，
$\therefore\odot D$与直线$AB$相离。
(2)当$r = 4.5cm$时，
$\because d = 4.5cm = r$，
$\therefore\odot D$与直线$AB$相切。
(3)当$r = 6cm$时，
$\because d = 4.5cm\lt6cm = r$，
$\therefore\odot D$与直线$AB$相交。

7. 如图,$\angle AOB=30^{\circ}$,$P$是$OA$上的一点,$OP=24\mathrm{cm}$,以$r$为半径作$\odot P$.
(1) 若$r=12\mathrm{cm}$,试判断$\odot P$与直线$OB$的位置关系;
(2) 若$\odot P$与直线$OB$相离,求$r$的取值范围.

答案： 【解析】：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及如何通过点到直线的距离与圆半径的关系来判断这种位置关系。
（1）判断$\odot P$与直线$OB$的位置关系，需要求出点$P$到直线$OB$的距离$d$，并与圆$P$的半径$r$进行比较。
过点$P$作$PC\perp OB$于点$C$，在$Rt\triangle POC$中，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OP = 24cm$，根据在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$PC=\frac{1}{2}OP = 12cm$，而圆$P$的半径$r = 12cm$，此时$d = r$，所以$\odot P$与直线$OB$相切。
（2）若$\odot P$与直线$OB$相离，则点$P$到直线$OB$的距离$d$大于圆$P$的半径$r$。
由（1）可知点$P$到直线$OB$的距离$d = 12cm$，所以$r\lt 12cm$，又因为半径$r\gt 0cm$，故$r$的取值范围是$0cm\lt r\lt 12cm$。
【答案】：
(1) $\odot P$与直线$OB$相切；
(2) $0cm\lt r\lt 12cm$。