《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 直线与圆相切的性质:(1)圆的切线与圆有唯一公共点;(2)圆心到圆的切线的距离等于半径;(3)圆的切线垂直于经过切点的半径.
2. 直线与圆相切的判定方法:(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

答案： 1.
(1)唯一
(2)半径
(3)切点
2.
(1)一个
(2)半径
(3)外端；半径

1. 关于圆的切线,下列说法正确的是 (D)
A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线

答案： 解：A.垂直于圆的半径的直线不一定是圆的切线，该直线需经过半径的外端点，故A错误；
B.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，射线不是直线，故B错误；
C.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，“一端”未明确是外端，故C错误；
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，故D正确。
答案：D

2. 如图,$AB$是半圆的直径,$P是AB$延长线上的一点,$PC切半圆于点C$,若$∠CAB= 29^{\circ}$,则$∠P$的度数为 (D)

A.$29^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$31^{\circ}$
D.$32^{\circ}$

答案： 【解析】：本题可根据圆的切线性质以及三角形外角的性质来求解$\angle P$的度数。
步骤一：连接$OC$。
因为$PC$切半圆于点$C$，根据圆的切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，所以$OC\perp PC$，即$\angle OCP = 90^{\circ}$。
步骤二：求出$\angle COB$的度数。
已知$OA = OC$（半径相等），根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，所以$\angle OCA = \angle CAB = 29^{\circ}$。
再根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在$\triangle AOC$中，$\angle COB$是$\triangle AOC$的一个外角，所以$\angle COB = \angle OCA + \angle CAB = 2×29^{\circ}= 58^{\circ}$。
步骤三：求出$\angle P$的度数。
在$Rt\triangle OCP$中，$\angle OCP = 90^{\circ}$，$\angle COB$是$\triangle OCP$的一个外角，根据三角形外角的性质可得$\angle COB = \angle P + \angle OCP$，则$\angle P = \angle COB - \angle OCP = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}$。
【答案】：D

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C、D是\odot O$上的点,$∠CDB= 20^{\circ}$,过点$C作\odot O的切线交AB的延长线于点E$,则$∠E$的度数为 (B)
A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 解：连接OC。
∵∠CDB=20°，
∴∠COB=2∠CDB=40°（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE（切线垂直于过切点的半径），即∠OCE=90°。
在△OCE中，∠E=180°-∠OCE-∠COB=180°-90°-40°=50°。
答案：B

4. 如图,AB是$\odot O$的直径,CD与$\odot O$相切于点$C,∠BCD= 25^{\circ},∠BAC$的度数为______.

25°

答案： 解：连接OC。
∵CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°。
∵∠BCD=25°，
∴∠OCB=∠OCD - ∠BCD=90° - 25°=65°。
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=65°。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∴∠BAC=180° - ∠ACB - ∠OBC=180° - 90° - 65°=25°。
25°

5. 如图,$PA、PB分别切\odot O于点A、B$,若$∠P= 70^{\circ}$,则$∠C$的度数为$55^\circ$.

答案： 【解析】：
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理。
已知$PA$和$PB$是圆$\odot O$的切线，切点分别为$A$和$B$，根据切线的性质，切线与半径垂直，所以$\angle OAP$和$\angle OBP$都是$90^\circ$，由于$\angle P = 70^\circ$，在四边形$OAPB$中，利用三角形内角和为$180^\circ$的性质，可以计算出$\angle AOB$的度数，即$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 110^\circ$，由于$\angle C$是圆周角，根据圆周角定理，圆周角等于它所对弧的圆心角的一半，所以$\angle C = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} × 110^\circ = 55^\circ$。
【答案】：
$55^\circ$。

6. 如图,$△ABC内接于\odot O$,直线$AD经过点A$,且$∠CAD= ∠B$,判断直线$AD与\odot O$的位置关系,并说明理由.

答案： 解：直线AD与⊙O相切，理由如下：
连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE。
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E+∠CAE=90°。
∵∠B=∠E，∠CAD=∠B，
∴∠CAD=∠E，
∴∠CAD+∠CAE=90°，即∠DAE=90°。
∵AD经过半径OA的外端A，且AD⊥OA，
∴直线AD与⊙O相切。

7. 如图,$O为∠BAC$的平分线上的一点,$OD⊥AB$,$D$为垂足,以点$O$为圆心,$OD为半径作\odot O$.求证:$\odot O与AC$相切.

答案： 【解析】：
本题考查直线与圆的位置关系，关键在于利用角平分线的性质，通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，从而证明直线与圆相切。
证明步骤如下：
过点$O$作$OE\perp AC$，垂足为$E$。
因为$AO$平分$\angle BAC$，$OD\perp AB$，$OE\perp AC$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OE = OD$。
已知以点$O$为圆心，$OD$为半径作$\odot O$，即圆的半径$r = OD$。
又因为$OE = OD$，所以圆心$O$到直线$AC$的距离$d = OE = r$（$r$为圆的半径）。
根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离$d$等于圆的半径$r$时，直线与圆相切，所以$\odot O$与$AC$相切。
【答案】：
证明：过点$O$作$OE\perp AC$，垂足为$E$。
$\because AO$平分$\angle BAC$，$OD\perp AB$，$OE\perp AC$，
$\therefore OE = OD$。
$\because$以点$O$为圆心，$OD$为半径作$\odot O$，
$\therefore$圆心$O$到直线$AC$的距离$d = OE = r$（$r$为圆的半径）。
$\therefore \odot O$与$AC$相切。