《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,C 是半圆上一点,D 是$\overset{\frown }{AC}$上一点. 连接 AC,若$∠BAC= 20^{\circ }$,则$∠D$的度数为 (B)
A.$100^{\circ }$
B.$110^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$130^{\circ }$

答案： 解：连接BC。
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-20°=70°。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°（圆内接四边形的对角互补）。
∴∠D=180°-∠ABC=180°-70°=110°。
答案：B

9. 如图,$△ABC内接于\odot O,∠ABC= 105^{\circ },\odot O$的切线 CD 交 AB 的延长线于点 D,且$CD= BC$,则$∠ACB$的度数为______.

45°

答案： 解：连接OC。
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°。
∵CD=BC，设∠CBD=∠D=x。
∵∠ABC=105°，∠ABC+∠CBD=180°，
∴105°+x=180°，解得x=75°，
∴∠D=∠CBD=75°，
∴∠BCD=180°-∠D-∠CBD=30°。
∵∠OCD=90°，
∴∠OCB=∠OCD-∠BCD=60°。
∵OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=1/2∠BOC=30°。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-105°=45°。
45°

10. 如图,已知 AB 是$\odot O$的直径,C 是圆外一点,直线 CA 交$\odot O$于点 D,点 B、D 不重合,AE 平分$∠CAB交\odot O$于点 E,过点 E 作$EF⊥CA$,垂足为 F.
(1)判断 EF 与$\odot O$的位置关系,并说明理由；
(2)若$EF= 2AF,\odot O$的直径为 10,求 AD.

答案：
(1)EF与$\odot O$相切。理由如下：
连接OE。
因为AE平分$\angle CAB$，所以$\angle CAE = \angle BAE$。
因为OA=OE，所以$\angle OEA = \angle BAE$。
所以$\angle CAE = \angle OEA$，所以OE$//$AC。
因为EF$\perp$CA，所以$\angle EFA = 90^\circ$。
所以$\angle OEF = \angle EFA = 90^\circ$，即OE$\perp$EF。
因为OE是$\odot O$的半径，所以EF与$\odot O$相切。
(2)设AF=x，则EF=2x。
连接BE。
因为AB是$\odot O$的直径，所以$\angle AEB = 90^\circ$。
因为EF$\perp$CA，所以$\angle AFE = 90^\circ = \angle AEB$。
因为$\angle FAE = \angle BAE$，所以$\triangle AFE \sim \triangle AEB$。
所以$\frac{AF}{AE} = \frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BE}$。
在$Rt\triangle AFE$中，AE=$\sqrt{AF^2 + EF^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x$。
所以$\frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}x}{10}$，解得x=2。
所以AF=2，AE=2$\sqrt{5}$。
所以$\frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{4}{BE}$，解得BE=4$\sqrt{5}$。
因为OE$//$AC，OA=OB，所以OE是$\triangle ABC$的中位线，所以AC=2OE=10。
因为$\angle FAE = \angle BAE$，$\angle AFE = \angle AEB = 90^\circ$，所以$\triangle AFD \sim \triangle AEB$（此处应为$\triangle AFE \sim \triangle AEB$已证，利用$\frac{AF}{AE} = \frac{AE}{AB}$得AE$^2$=AF$\cdot$AB，求出x后，由OE$//$CF，O为AB中点，得E为BC中点，CE=BE=4$\sqrt{5}$，在$Rt\triangle CFE$中，CF=$\sqrt{CE^2 - EF^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2} = 8$，所以AD=AC - CF - AF=10 - 8 - 2=0（错误，修正如下）。
正确解法：由OE$//$AC，得$\frac{CO}{OA} = \frac{CE}{EB}$，但更简单的是，设AD=y，因为EF是切线，所以EF$^2$=FD$\cdot$FA，FD=AD + AF=y + 2（错误，应为FD=AD - AF，当D在A、F之间时，FD=AD - AF=y - 2，EF$^2$=FD$\cdot$FA（切割线定理：EF$^2$=FD$\cdot$FC，FC=FD + DC=FD + (AC - AD)=FD + (10 - y)，此处AC=AD + DC，设AD=y，DC=10 - y，FD=AD - AF=y - 2，FC=FD + DC=y - 2 + 10 - y=8，由切割线定理EF$^2$=FD$\cdot$FC，即(2x)$^2$=(y - x)$\cdot$FC，x=2，EF=4，FC=AC - AF=10 - 2=8（因为AC=AD + DC，OE$//$AC，O为AB中点，E为BC中点，CE=BE=4$\sqrt{5}$，在$Rt\triangle CFE$中，CF=$\sqrt{CE^2 - EF^2} = \sqrt{80 - 16} = 8$），所以4$^2$=(y - 2)$\cdot$8，16=8(y - 2)，y - 2=2，y=4。
所以AD=4。

11. 如图,$\odot O$的半径为 3,A 是$\odot O$外一点,$OA= 6$,B 是$\odot O$上的动点,线段 AB 的中点为 P,连接 OA、OP. 则线段 OP 的最大值是______$\frac{9}{2}$.

答案： 【解析】：本题要求线段$OP$的最大值，已知点$P$是线段$AB$的中点，可考虑通过构造三角形中位线，利用三角形中位线定理来求解。
取$OA$的中点$C$，连接$PC$。
因为点$P$是线段$AB$的中点，点$C$是线段$OA$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
所以$PC$是$\triangle OAB$的中位线，则$PC=\frac{1}{2}OB$。
已知$\odot O$的半径为$3$，即$OB = 3$，所以$PC=\frac{1}{2}×3 = 1.5$。
在$\triangle OPC$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，即$OP\leq PC + OC$，当且仅当$O$，$P$，$C$三点共线且$P$在$OC$延长线上时，等号成立，此时$OP$取得最大值。
已知$OA = 6$，点$C$是$OA$中点，则$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×6 = 3$。
所以$OP$的最大值为$PC + OC = 1.5 + 3 = 4.5=\frac{9}{2}$。
【答案】：$\frac{9}{2}$

12. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC= 120^{\circ },\odot O是△ABC$的外接圆,P 是$\overset{\frown }{AmC}$上的一个动点.
(1)求$∠AOC$的度数；
(2)若$\odot O$的半径为 2,设点 P 到直线 AC 的距离为 x,图中阴影部分的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围.

答案：
(1)解：在△ABC中，∠ABC=120°，点A、B、C在⊙O上，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，且∠ABC与∠AOC所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，但∠ABC是劣弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是圆心角，
因为圆内接四边形对角互补，整个圆周角为360°，劣弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角为180° - 120° = 60°，
所以∠AOC = 2×60° = 120°。
(2)解：过点O作OD⊥AC于点D，
因为OA=OC=2，∠AOC=120°，
所以AD=CD，∠OAD=30°，OD=OA×sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1，AD=OA×cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，AC=2AD=2$\sqrt{3}$。
点P到直线AC的距离为x，
当点P在劣弧$\overset{\frown}{AmC}$上时，点P到AC的距离x等于点P到AC的垂线段长度，
阴影部分面积y = S_{△APC} + S_{△ABC}（此处假设阴影部分为四边形APCB，根据图形推测），
但更准确应为：阴影部分面积y = S_{扇形AOC} + S_{△APC} - S_{△AOC}（需根据图形确定，此处按常见情况，阴影部分为弓形APC与△ABC组合，或直接为△APC与△ABC组合，因题目未明确阴影部分，根据常规题设，假设阴影部分为四边形APCB），
S_{△ABC}的面积固定，S_{△APC} = $\frac{1}{2}$×AC×x = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×x = $\sqrt{3}$x，
S_{△AOC} = $\frac{1}{2}$×AC×OD = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1 = $\sqrt{3}$，
S_{扇形AOC} = $\frac{120°}{360°}$×π×2² = $\frac{4}{3}$π，
因为点P在$\overset{\frown}{AmC}$上，$\overset{\frown}{AmC}$为优弧，点P到AC的距离x的最小值为点O到AC的距离加上OD（或减去，此处优弧上点到AC的最大距离为直径减去OD，最小距离为OD的反向延长线到圆上的距离），
点P到AC的最大距离为2 + 1 = 3（当P在OD延长线上时），最小距离为2 - 1 = 1（当P在DO延长线上时），
所以y = $\sqrt{3}$x + （S_{△ABC} - S_{△AOC}），但S_{△ABC} - S_{△AOC}为定值，
又因为S_{△ABC}的高为点B到AC的距离，点B在劣弧$\overset{\frown}{AC}$上，到AC的距离为OD - （点O到B的距离在AC方向的投影），
点B到AC的距离为1 - （OB×cos60°）= 1 - 1 = 0（此步骤有误，重新计算），
正确应为：阴影部分面积y = S_{△APC} + S_{△ABC}，
S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$×AC×h（h为点B到AC的距离），点B在劣弧$\overset{\frown}{AC}$上，到AC的距离为OD - 1 = 1 - 1 = 0（错误），
重新分析：点P在$\overset{\frown}{AmC}$上，阴影部分应为△APC与弓形ACB的组合，即y = S_{△APC} + S_{弓形ACB}，
S_{弓形ACB} = S_{扇形ACB} - S_{△ABC}，但S_{扇形ACB} = $\frac{240°}{360°}$×π×2² = $\frac{8}{3}$π，S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$×AC×（OD - 点O到B的距离在AC方向的距离），
点O到B的距离为2，∠AOB=60°，点B到AC的距离为OD - OB×cos60°=1 - 2×$\frac{1}{2}$=0（错误，点B到AC的距离应为OD + （OB×cos60°）当点B在AC下方时，OD=1，点B到AC的距离为1 + 1=2，
S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2 = 2$\sqrt{3}$，
S_{弓形ACB} = S_{扇形ACB} - S_{△ABC} = $\frac{8}{3}$π - 2$\sqrt{3}$，
S_{△APC} = $\frac{1}{2}$×AC×x = $\sqrt{3}$x，
所以y = $\sqrt{3}$x + $\frac{8}{3}$π - 2$\sqrt{3}$，
又因为点P在$\overset{\frown}{AmC}$上，点P到AC的距离x的范围是点P在劣弧$\overset{\frown}{AC}$的对弧（优弧）上，最小距离为点O到AC的距离的反向延长线到圆上的距离，即x≥OD + （半径 - OD）= 1 + 1=2？（混乱，正确应为：点P到AC的距离x = 点P到AC的垂线段长= d，当P在优弧$\overset{\frown}{AmC}$上时，d的最小值为点P与点O在AC同侧时，d = |h_p|，h_p为点P的纵坐标，OD=1，所以点P到AC的距离x的范围是1 + 2=3（最大值）到2 - 1=1（最小值），即1≤x≤3，
综上，y = $\sqrt{3}$x + （$\frac{4}{3}$π - $\sqrt{3}$） - $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$x + $\frac{4}{3}$π - 2$\sqrt{3}$ (1≤x≤3)。
（注：因题目未明确阴影部分具体范围，上述解答基于常见题型假设阴影部分为四边形APCB，函数表达式为y = $\sqrt{3}$x + $\frac{4}{3}$π - 2$\sqrt{3}$，自变量取值范围为1≤x≤3。）
最终答案为：
(1)∠AOC=120°；
(2)y = $\sqrt{3}$x + $\frac{4}{3}$π - 2$\sqrt{3}$，1≤x≤3。