《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 已知关于y的一元二次方程$(m+1)y^{2}-3my-9= 0$的根都是整数,且m满足等式$\sqrt{(1-m)^{2}}= (\sqrt{1-m})^{2}$,则满足条件的所有整数m的和是 (D)
A.-5
B.-4
C.0
D.-6

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法以及二次根式的性质。
首先，考虑二次根式的性质，有$\sqrt{(1-m)^{2}}= (\sqrt{1-m})^{2}$。
由于根号下的表达式必须非负，所以有$1-m \geq 0$，即$m \leq 1$。
接下来，考虑一元二次方程$(m+1)y^{2}-3my-9= 0$。
由于方程有实数解，所以判别式$\Delta$必须大于等于0。
计算判别式，有
$\Delta = (-3m)^{2} - 4(m+1)(-9) = 9m^{2} + 36(m+1) = 9m^{2} + 36m + 36 = 9(m+2)^{2} \geq 0$
由于$\Delta \geq 0$恒成立，且$m+1 \neq 0$（否则方程就不是一元二次方程），所以$m \neq -1$。
现在，利用求根公式来找出方程的解。
方程的解为
$y = \frac{-(-3m) \pm \sqrt{\Delta}}{2(m+1)} = \frac{3m \pm \sqrt{9(m+2)^{2}}}{2(m+1)} = \frac{3m \pm 3(m+2)}{2(m+1)}$
化简后得到两个解：
$y_1 = \frac{3m + 3(m+2)}{2(m+1)} = 3, \quad y_2 = \frac{3m - 3(m+2)}{2(m+1)} = -\frac{3}{m+1}$
由于题目要求方程的根都是整数，且$m$为整数，所以$-\frac{3}{m+1}$也必须是整数。
这意味着$m+1$只能是$\pm 1$或$\pm 3$。
解得$m = 0, -2, 2, -4$。
但由于前面已经得出$m \leq 1$且$m \neq -1$，所以只有$m = 0, -2, -4$满足条件。
最后，求满足条件的所有整数$m$的和，即$0 + (-2) + (-4) = -6$。
【答案】：D. $-6$

9. 对于实数m、n,先定义一种新运算“$\otimes$”如下：$m\otimes n= \begin{cases}m^{2}+m+n,当 m＞n时,\\n^{2}+m+n,当 m\leqslant n时,\end{cases} 若x\otimes(-1)= 5$,则实数x的值为2.

答案： 【解析】：
根据题目中定义的新运算“$\otimes$”的规则，需要分两种情况来讨论：
当 $x ＞ -1$ 时，应用规则 $m\otimes n = m^2 + m + n$，代入得 $x\otimes (-1) = x^2 + x - 1$。
根据题意，有 $x^2 + x - 1 = 5$，即 $x^2 + x - 6 = 0$。
这是一个一元二次方程，通过因式分解得 $(x+3)(x-2) = 0$，解得 $x_1 = -3, x_2 = 2$。
由于 $x ＞ -1$，所以 $x = -3$ 不符合条件，舍去，只保留 $x = 2$。
当 $x \leq -1$ 时，应用规则 $m\otimes n = n^2 + m + n$，代入得 $x\otimes (-1) = 1 + x - 1 = x$。
根据题意，有 $x = 5$，但这与 $x \leq -1$ 矛盾，所以此情况下无解。
综上所述，通过分类讨论和一元二次方程的求解，得出 $x = 2$ 是唯一解。
【答案】：
$x = 2$

10. 解关于x的一元二次方程.
(1)$x^{2}+2mx-8m^{2}= 0$； (2)$-x^{2}+2mx+2m+1= 0$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的解法，特别是因式分解法和公式法的应用。
(1) 对于方程 $x^{2} + 2mx - 8m^{2} = 0$，可以尝试因式分解法。
首先，将方程重写为 $x^{2} + 2mx - 8m^{2} = (x + 4m)(x - 2m) = 0$。
由此，可以得到两个方程 $x + 4m = 0$ 和 $x - 2m = 0$，
解得 $x_1 = -4m$ 和 $x_2 = 2m$。
(2) 对于方程 $-x^{2} + 2mx + 2m + 1 = 0$，由于二次项系数为负，先将其转化为标准形式 $x^{2} - 2mx - (2m + 1) = 0$。
接着，计算判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (2m)^{2} - 4 × 1 × [-(2m + 1)] = 4m^{2} + 8m + 4 = 4(m + 1)^{2}$。
由于 $\Delta \geq 0$，方程有实数解。
应用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
得到 $x = \frac{2m \pm \sqrt{4(m + 1)^{2}}}{2} = m \pm (m + 1)$，
所以 $x_1 = 2m + 1$ 和 $x_2 = -1$。
【答案】：
(1) $x_1 = -4m$，$x_2 = 2m$；
(2) $x_1 = 2m + 1$，$x_2 = -1$。

11. (1)若最简二次根式$\sqrt{x^{2}-4x-3}与\sqrt{2x+13}$是同类二次根式,则$x=$8.
(2)如图,已知A、B、C是数轴上异于原点O的三个点,且O为AB的中点,B为AC的中点. 若点B对应的数是x,点C对应的数是$x^{2}-3x$,则$x=$6.

答案： 【解析】：
（1）本题考查同类二次根式的定义，即几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
由于最简二次根式$\sqrt{x^{2}-4x-3}$与$\sqrt{2x+13}$是同类二次根式，
根据同类二次根式的定义，可得：
$x^{2}-4x-3=2x+13$
移项得：
$x^{2}-6x-16=0$
因式分解该二次方程，得：
$(x-8)(x+2)=0$
解得：
$x=8$或$x=-2$，
当$x=-2$时，二次根式$\sqrt{2x+13}=\sqrt{9}=3$，不是最简二次根式，与题意不符，舍去，
当$x=8$时，$\sqrt{x^{2}-4x-3}=\sqrt{64-32-3}=\sqrt{29}$，$\sqrt{2x+13}=\sqrt{16+13}=\sqrt{29}$，是最简二次根式，符合题意。
所以$x=8$。
（2）本题考查数轴上点的表示以及一元二次方程的应用。
已知点$B$对应的数是$x$，点$C$对应的数是$x^{2}-3x$，且$B$为$AC$的中点，$O$为$AB$的中点，
根据中点的性质，可得点$A$对应的数为$-x$，
又因为$B$为$AC$的中点，根据中点坐标公式，有：
$\frac{-x+(x^{2}-3x)}{2}=x$
化简得：
$x^{2}-6x=0$
提取公因子$x$，得：
$x(x-6)=0$
解得：
$x=6$或$x=0$，
由于题目中明确指出$A$，$B$，$C$是数轴上异于原点$O$的三个点，所以$x\neq0$，
所以$x=6$。
【答案】：
(1)$8$；
(2)$6$。

12. 阅读材料：为解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$,我们可以将$x^{2}-1$视为一个整体,然后设$x^{2}-1= y$,则$(x^{2}-1)^{2}= y^{2}$.
原方程化为$y^{2}-5y+4= 0$. ①
解得$y_{1}= 1,y_{2}= 4$.
当$y= 1$时,$x^{2}-1= 1$,$\therefore x^{2}= 2$,$\therefore x= \pm\sqrt{2}$；
当$y= 4$时,$x^{2}-1= 4$,$\therefore x^{2}= 5$,$\therefore x= \pm\sqrt{5}$；
$\therefore原方程的解是x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2},x_{3}= \sqrt{5},x_{4}= -\sqrt{5}$.
解答下列问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了降次的目的；
(2)利用材料中的方法解方程：$(x^{2}+x)(x^{2}+x-14)+24= 0$.
$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$，$x_{3}=3$，$x_{4}=-4$

答案： 【解析】：
本题主要考查了换元法解一元二次方程。
(1) 在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法，将$x^{2}-1$视为一个整体，设$x^{2}-1=y$，从而简化了原方程，达到了降次的目的。
(2) 对于方程$(x^{2}+x)(x^{2}+x-14)+24=0$，我们可以将$x^{2}+x$视为一个整体，设$x^{2}+x=y$，则原方程化为$y(y-14)+24=0$，
即$y^{2}-14y+24=0$，
利用因式分解法，我们可以得到$(y-2)(y-12)=0$，
解得$y_{1}=2$，$y_{2}=12$，
当$y=2$时，$x^{2}+x=2$，即$x^{2}+x-2=0$，
利用因式分解法，我们可以得到$(x-1)(x+2)=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$；
当$y=12$时，$x^{2}+x=12$，即$x^{2}+x-12=0$，
利用因式分解法，我们可以得到$(x-3)(x+4)=0$，
解得$x_{3}=3$，$x_{4}=-4$；
所以，原方程的解是$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$，$x_{3}=3$，$x_{4}=-4$。
【答案】：
(1) 换元；降次
(2) $x_{1}=1$，$x_{2}=-2$，$x_{3}=3$，$x_{4}=-4$