《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共赠送了 90 件,设组员有 x 名同学,则根据题意列出的方程是 (A)
A.$x(x-1)= 90$
B.$x(x+1)= 90$
C.$x(x-1)= 90×2$
D.$x(x+1)= 90×2$

答案： 【解析】：
这个问题主要考察的是一元二次方程的建立和应用。
根据题意，每位同学都将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，所以每位同学赠送的标本数量为$x-1$（因为不能送给自己）。
全组有$x$名同学，所以全组共赠送的标本数量为$x(x-1)$。
根据题意，这个数量等于90，所以我们有方程$x(x-1) = 90$。
【答案】：
A. $x(x-1) = 90$

9. 某商品的进价为每件 40 元. 当售价为每件 60 元时,每星期可卖出 300 件,现需降价处理,为占有市场份额,即在确保盈利的前提下,尽量增加销售量,且经市场调查:每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件. 现在要使利润为 6120 元,每件商品应降价3元.

答案： 解：设每件商品应降价$x$元。
根据题意，得$(60 - x - 40)(300 + 20x) = 6120$
整理，得$x^2 - 5x + 6 = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$
因为要尽量增加销售量，所以$x = 3$
答：每件商品应降价$3$元。

10. 某公司 2 月份销售新上市的 A 产品 20 套,由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4 月份该公司销售 A 产品达到 45 套,并且 2 月到 3 月和 3 月到 4 月两次的增长率相同.
(1) 求该公司销售 A 产品每次的增长率;
(2) 若 A 产品每套盈利 2 万元,则平均每月可售 30 套,为了尽量减少库存,该公司决定采取适当的降价措施,经调查发现,A 产品每套每降 0.5 万元,公司平均每月可多售出 20 套;若该公司在 5 月份要获利 70 万元,则每套 A 产品需降价多少?

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用，包括增长率和降价促销问题的建模与求解。
(1) 设该公司销售A产品每次的增长率为$x$，则根据题意，2月份到4月份的销售量变化可以表示为：$20(1+x)^2 = 45$
这是一个关于$x$的一元二次方程，可以通过求解这个方程来找到增长率$x$。
(2) 设每套A产品需降价$y$万元，则每套产品的盈利为$(2-y)$万元。
根据题意，每降价0.5万元，销量增加20套，所以降价$y$万元后，每月可售出的套数为$30+\frac{y}{0.5} × 20 = 30+40y$（套）。
因此，5月份的盈利目标可以表示为方程：$(2-y)(30+40y) = 70$，
这是一个关于$y$的一元二次方程，可以通过求解这个方程来找到需要降价的金额$y$。
【答案】：
(1) 解：设该公司销售A产品每次的增长率为$x$，
根据题意，得$20(1 + x)^{2} = 45$，
整理，得$(1 + x)^{2} = 2.25$，
开方，得$1 + x = \pm 1.5$，
解得$x_{1} = 0.5 = 50\%$，$x_{2} = -2.5$（不合题意，舍去）。
答：该公司销售A产品每次的增长率为$50\%$。
(2) 解：设每套A产品需降价$y$万元，
根据题意，得$(2 - y)(30 + 40y) = 70$，
整理，得$y^{2} - \frac{5}{2}y + \frac{1}{2} = 0$，
解得$y_{1} = \frac{1}{2}$，$y_{2} = 1$，
∵要尽量减少库存，
∴$y = 1$。
答：每套A产品需降价1万元。

11. 随着“共享经济”的概念迅速普及,共享汽车也进入了人们的视野,某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车,全天包车的租金定为每辆 120 元. 据统计,三月份的全天包车数为 25 次,在租金不变的基础上,四、五月的全天包车数持续走高,五月份的全天包车数达到 64 次.
(1) 若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变,求全天包车数的月平均增长率;
(2) 从六月份起,该公司决定降低租金,经调查发现,租金每降价 a 元,全天包车数增加 1.6a 次,当租金降价多少元时,公司将获利 8800 元?

答案：
(1) 解：设全天包车数的月平均增长率为$x$，根据题意得：
$25(1+x)^2 = 64$
$(1+x)^2=\frac{64}{25}$
$1+x=\pm\frac{8}{5}$
解得$x_1 = 0.6 = 60\%$，$x_2=-2.6$（不合题意，舍去）
答：全天包车数的月平均增长率为$60\%$。
(2) 解：设租金降价$a$元，根据题意得：
$(120 - a)(64 + 1.6a)=8800$
整理得：$1.6a^2 - 128a + 800 = 0$
化简得：$a^2 - 80a + 500 = 0$
$(a - 10)(a - 50)=0$
解得$a_1 = 10$，$a_2 = 50$
答：当租金降价$10$元或$50$元时，公司将获利$8800$元。