《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

1. 把一个一元二次方程变形为$(x+m)^{2}= n$的形式(其中$m$、$n$都是常数),如果$n$非负数,再通过直接开平方法求出方程的解,那么这种一元二次方程的方法叫作配方法.
2. 用配方法解一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$的一般步骤：(1) 移项：把常数项移到方程右边；(2) 配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方,使左边成为完全平方式；(3) 直接开平方：利用直接开平方法解方程.

答案： 1. 常数；非负数；直接开平方；配方
2.
(1)右边；
(2)一次项系数一半的平方；完全平方式；
(3)直接开平方

1. 用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x+8= 0$配方后得到的方程是 (D)
A.$(x+6)^{2}= 28$
B.$(x-6)^{2}= 28$
C.$(x+3)^{2}= 1$
D.$(x-3)^{2}= 1$

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的配方法解法。配方法是一种将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而简化求解过程的方法。
对于给定的方程 $x^{2}-6x+8= 0$，我们需要通过配方将其转化为完全平方的形式。
首先，将常数项移到等号右边，得到 $x^{2}-6x= -8$。
接着，为了配方，我们在等号两边同时加上 $(-\frac{6}{2})^{2} = 9$，得到 $x^{2}-6x+9= 1$。
这样，我们就将原方程转化为了完全平方的形式 $(x-3)^{2}= 1$。
【答案】：
D. $(x-3)^{2}= 1$。

2. 把方程$x^{2}-4x+3= 0化为(x+m)^{2}= n$形式,则$m$、$n$的值为 (C)
A.2,1
B.1,2
C.-2,1
D.-2,-1

答案： 【解析】：
本题考查的是一元二次方程的配方方法。
要将一元二次方程$x^{2}-4x+3= 0$化为$(x+m)^{2}= n$的形式，首先需要将常数项移到等号的另一边，得到$x^{2}-4x=-3$。
接着，为了完成配方，需要找到一个数，使得$x^{2}-4x$可以写成一个完全平方的形式。
这个数是线性项系数的一半的平方，即$(-4/2)^{2}=4$。
然后，在等式的两边都加上这个数，得到$x^{2}-4x+4=1$。
这样，就将原方程化为了$(x-2)^{2}=1$的形式，即$(x+m)^{2}= n$的形式，其中$m=-2$，$n=1$。
【答案】：
C

3. 若$x^{2}-mx+\frac {49}{25}= (x+\frac {7}{5})^{2}$,则$m$的值为 (C)
A.$-\frac {7}{5}$
B.$\frac {14}{5}$
C.$-\frac {14}{5}$
D.$\frac {7}{5}$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的完全平方公式及方程解法的知识点。
给定方程$x^{2} - mx + \frac{49}{25} = (x + \frac{7}{5})^{2}$，
首先，将右侧的完全平方展开：
$(x + \frac{7}{5})^{2} = x^{2} + \frac{14}{5}x + \frac{49}{25}$
然后，将左右两边的方程进行对比，即：
$x^{2} - mx + \frac{49}{25} = x^{2} + \frac{14}{5}x + \frac{49}{25}$
通过对比，可以发现，左右两边的常数项已经相等，只需比较$x$的系数。
从$x$的系数可以得到：
$-m = \frac{14}{5}$
解这个方程，得到：
$m = - \frac{14}{5}$
【答案】：
C. $-\frac{14}{5}$。

4. (1) $x^{2}-20x+$100$=(x-$10$)^{2}$；
(2) $x^{2}+$18$x+81= (x+$9$)^{2}$；
(3) $x^{2}+5x+$$\frac{25}{4}$$=(x+$$\frac{5}{2}$$)^{2}$；
(4) $x^{2}+px+$$\frac{p^{2}}{4}$$=(x+$$\frac{p}{2}$$)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查完全平方公式的应用。完全平方公式为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
对于形如$x^{2}+bx+c$的式子，若要使其成为完全平方，需找到一个数$m$，使得$x^{2}+bx+m^{2}=(x+m)^{2}$（对于$(x-m)^{2}$形式同理，此时为$x^{2}-bx+m^{2}=(x-m)^{2}$），其中$m$满足$2m=b$（或$-2m=b$）的条件，即$m=\frac{b}{2}$（或$m=-\frac{b}{2}$），然后$c=m^{2}$。
(1) 对于$x^{2}-20x+\underline{\hspace{1em}}=(x-\underline{\hspace{1em}})^{2}$：
这里$b=-20$，所以$m=-\frac{20}{2}=-10$，则$c=m^{2}=100$。
所以填空为：$x^{2}-20x+100=(x-10)^{2}$。
(2) 对于$x^{2}+\underline{\hspace{1em}}x+81=(x+\underline{\hspace{1em}})^{2}$：
这里$c=81$，所以$m=\sqrt{81}=9$，则$b=2m=18$。
所以填空为：$x^{2}+18x+81=(x+9)^{2}$。
(3) 对于$x^{2}+5x+\underline{\hspace{1em}}=(x+\underline{\hspace{1em}})^{2}$：
这里$b=5$，所以$m=\frac{5}{2}$，则$c=m^{2}=\frac{25}{4}$。
所以填空为：$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=(x+\frac{5}{2})^{2}$。
(4) 对于$x^{2}+px+\underline{\hspace{1em}}=(x+\underline{\hspace{1em}})^{2}$：
这里$b=p$，所以$m=\frac{p}{2}$，则$c=m^{2}=\frac{p^{2}}{4}$。
所以填空为：$x^{2}+px+\frac{p^{2}}{4}=(x+\frac{p}{2})^{2}$。
【答案】：
(1) $100$；$10$
(2) $18$；$9$
(3) $\frac{25}{4}$；$\frac{5}{2}$
(4) $\frac{p^{2}}{4}$；$\frac{p}{2}$

5. (1) 若$x^{2}-6xy+9y^{2}= 0$,则$\frac {x}{y}=$3.
(2) 若$x^{2}+6x+m^{2}$是一个完全平方式,则$m$的值是$\pm 3$.

答案： 【解析】：
(1) 对于 $x^{2} - 6xy + 9y^{2} = 0$，我们可以观察到它是一个完全平方的形式。
将其写成 $(x - 3y)^{2} = 0$，
由此可得 $x - 3y = 0$，
进一步解得 $x = 3y$。
因此，$\frac{x}{y} = 3$（$y \neq 0$）。
(2) 对于 $x^{2} + 6x + m^{2}$ 是一个完全平方式，
我们可以将其与完全平方公式 $(x+a)^{2} = x^{2} + 2ax + a^{2}$ 进行对比。
从中我们可以看出，$2a = 6$，即 $a = 3$，
所以 $m^{2}$ 应该等于 $a^{2}$，即 $m^{2} = 9$，
解得 $m = \pm 3$。
【答案】：
(1) $3$
(2) $\pm 3$

6. 用配方法解下列方程.
(1) $x^{2}-6x-9= 0$；
(2) $x^{2}+8x= 9$；
(3) $x^{2}= -12x+15$；
(4) $x^{2}-4\sqrt {3}x-1= 0$；
(5) $x^{2}+3x= 1$.

答案： 【解析】：
本题主要考查用配方法解一元二次方程。配方法的一般步骤是：首先将二次项系数化为1，然后移项，使常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用直接开平方法求解。
(1)解：
原方程为$x^{2} - 6x - 9 = 0$，
移项得$x^{2} - 6x = 9$，
为了配方，我们需要加上$(\frac{-6}{2})^{2} = 9$，
所以$x^{2} - 6x + 9 = 9 + 9$，
即$(x - 3)^{2} = 18$，
开平方得$x - 3 = \pm 3\sqrt{2}$，
所以$x_{1} = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_{2} = 3 - 3\sqrt{2}$。
(2)解：
原方程为$x^{2} + 8x = 9$，
为了配方，我们需要加上$(\frac{8}{2})^{2} = 16$，
所以$x^{2} + 8x + 16 = 9 + 16$，
即$(x + 4)^{2} = 25$，
开平方得$x + 4 = \pm 5$，
所以$x_{1} = 1$，$x_{2} = -9$。
(3)解：
原方程为$x^{2} = -12x + 15$，
移项得$x^{2} + 12x = 15$，
为了配方，我们需要加上$(\frac{12}{2})^{2} = 36$，
所以$x^{2} + 12x + 36 = 15 + 36$，
即$(x + 6)^{2} = 51$，
开平方得$x + 6 = \pm \sqrt{51}$，
所以$x_{1} = -6 + \sqrt{51}$，$x_{2} = -6 - \sqrt{51}$。
(4)解：
原方程为$x^{2} - 4\sqrt{3}x - 1 = 0$，
移项得$x^{2} - 4\sqrt{3}x = 1$，
为了配方，我们需要加上$(\frac{-4\sqrt{3}}{2})^{2} = 12$，
所以$x^{2} - 4\sqrt{3}x + 12 = 1 + 12$，
即$(x - 2\sqrt{3})^{2} = 13$，
开平方得$x - 2\sqrt{3} = \pm \sqrt{13}$，
所以$x_{1} = 2\sqrt{3} + \sqrt{13}$，$x_{2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{13}$。
(5)解：
原方程为$x^{2} + 3x = 1$，
移项得$x^{2} + 3x - 1 = 0$，
为了配方，我们需要加上$(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$，
所以$x^{2} + 3x + \frac{9}{4} = 1 + \frac{9}{4}$，
即$(x + \frac{3}{2})^{2} = \frac{13}{4}$，
开平方得$x + \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$，
所以$x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_{2} = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$。
【答案】：
(1)$x_{1} = 3 + 3\sqrt{2}$，$x_{2} = 3 - 3\sqrt{2}$；
(2)$x_{1} = 1$，$x_{2} = -9$；
(3)$x_{1} = -6 + \sqrt{51}$，$x_{2} = -6 - \sqrt{51}$；
(4)$x_{1} = 2\sqrt{3} + \sqrt{13}$，$x_{2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{13}$；
(5)$x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_{2} = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$。

7. 用配方法证明：代数式$x^{2}+10x+8$的值不小于-17.

答案： 【解析】：
本题主要考查了配方法的应用以及一元二次方程的最值问题。
首先，我们将代数式$x^{2}+10x+8$进行配方处理。
配方的一般步骤是先将常数项移到等式的另一边，然后观察一次项的系数，取其一半并求平方，加到等式的两边，从而将二次项和一次项组合成一个完全平方项。
具体到本题，我们可以先将8移到等式的另一边，得到$x^{2}+10x=-8$。
然后，取一次项系数10的一半，即5，并求其平方，即25，加到等式的两边，得到$x^{2}+10x+25=-8+25$。
化简后，我们得到$(x+5)^{2}=17$。
由于平方项的值总是非负的，即$(x+5)^{2} \geq 0$，所以我们可以得出$x^{2}+10x+8=(x+5)^{2}-17 \geq -17$。
因此，我们证明了代数式$x^{2}+10x+8$的值不小于-17。
【答案】：
证明：$x^{2}+10x+8=(x+5)^{2}-17$，
∵$(x+5)^{2} \geq 0$，
∴$(x+5)^{2}-17 \geq -17$，
即$x^{2}+10x+8 \geq -17$，
∴代数式$x^{2}+10x+8$的值不小于-17。