《2025年创新课时作业本九年级数学上册苏州专版》

8. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为 (C)

A.45°
B.50°
C.60°
D.75°

答案： 【解析】：本题可根据圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质来求解$\angle ADC$的度数。
步骤一：根据平行四边形的性质得到相关角的关系
已知四边形$ABCO$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，可得$\angle ABC = \angle AOC$。
步骤二：根据圆周角定理得到$\angle ADC$与$\angle AOC$的关系
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。
同时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知$\angle ADC$和$\angle AOC$分别是弧$AC$所对的圆周角和圆心角，所以$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
步骤三：结合上述关系求出$\angle ADC$的度数
由$\angle ABC = \angle AOC$以及$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$，可得$\angle AOC + \angle ADC = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ADC=\frac{1}{2}\angle AOC$，将$\angle AOC = 2\angle ADC$代入$\angle AOC + \angle ADC = 180^{\circ}$中，得到$2\angle ADC + \angle ADC = 180^{\circ}$，即$3\angle ADC = 180^{\circ}$，解得$\angle ADC = 60^{\circ}$。
【答案】：C

9. 如图,已知四边形ABCD内一点E,若EA= EB= EC= ED,∠BED= 140°,则∠BCD的度数为______.

70°

答案： 解：
∵EA=EB=EC=ED，
∴点A、B、C、D在以点E为圆心，EA为半径的圆上。
∵∠BED=140°，
∴∠BCD=1/2∠BED=70°。
答案：70°

10. 如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB= AD,∠BCD= 110°,点E在AD上.
(1)∠BAD= 40°；
(2)求∠AED的度数.

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=110°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=70°
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=(180°-∠BAD)/2=(180°-70°)/2=55°，
∵∠AED与∠ABD所对的弧均为弧AD，
∴∠AED=∠ABD=55°。

答案：
(1)40°
(2)证明：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=110°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=70°（此处原解答第一问计算错误，应为180°-110°=70°，以下按正确逻辑修正）
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=(180°-∠BAD)/2=(180°-70°)/2=55°，
∵∠AED与∠ABD所对的弧均为弧AD，
∴∠AED=∠ABD=55°。

11. 如图,A、B、C、D四个点均在⊙O上,∠AOD= 70°,AO//DC,则∠B的度数为______.

55°

答案： 解：连接AD。
因为∠AOD=70°，OA=OD，所以∠OAD=∠ODA=(180°-70°)/2=55°。
因为AO//DC，所以∠ODC=∠AOD=70°。
所以∠ADC=∠ODA+∠ODC=55°+70°=125°。
因为A、B、C、D四点在⊙O上，所以∠B+∠ADC=180°。
所以∠B=180°-125°=55°。
55°

12. 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC= ∠ADB.
(1)求证：DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF//AD交AB的延长线于点F. 若AC= AD,BF= 2,求此圆半径的长.

答案：
(1)证明：
∵∠BAC=∠ADB，∠ADB=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB，
∴DB平分∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD=90°.
(2)解：设AB=BC=x，
∵CF//AD，∠BAD=90°，
∴∠F=∠BAD=90°，
∵∠ABD=∠CBD，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠ACB=α，
∵AC=AD，∠ACD=∠ADC=2α，
∵∠BCD=90°，
∴∠ACB+∠ACD=90°，即α+2α=90°，α=30°，
∴∠ABC=2α=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=AD，∠BAC=60°，∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB=∠BAC=30°，在Rt△BCF中，BF=2，∠FBC=180°-∠ABC=120°，∠BCF=∠FBC-∠F=30°，
∴BC=2BF=4，AB=BC=4，AF=AB+BF=6，在Rt△AFC中，AC=√(AF²+CF²)=√(6²+2²)=2√10，
∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径，在Rt△ABD中，BD=√(AB²+AD²)=√(4²+(2√10)²)=√(16+40)=√56=2√14，圆半径为√14.