《2025年畅行课堂七年级数学下册华师大版》

4.“动感数学”社团教室重新装修，如图，这是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ）

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： B

10.有以下几种边长相等的正多边形:①正六边形;②正三角形;③正方形;④正八边形;⑤正五边形，那么组合后可以进行平面镶嵌的是（ ）
A.①②④
B.①③⑤
C.①②③
D.③④⑤

答案： C

11.(2024·三明期末)某校“智慧数学教室”重新装修，如图所示的是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（ ）

A.14
B.12
C.11
D.10

答案： B

12.如图1、图2、图3,用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺，但图4、图5不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形:____________.

答案： 正十二边形

13.(2024·虞城县月考)相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖.它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题.

(1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由;
(2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分,是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由.

答案： 解:
(1)能.理由如下:
　　$\because$正三角形的内角和为$180^{\circ}$，
　　$\therefore$正三角形的每一个内角为$180^{\circ}\div3 = 60^{\circ}$。
　$\because360^{\circ}\div60^{\circ}=6$，
　$\therefore$正三角形能镶嵌成一个平面图形。
(2)能.理由如下:
　$\because$正十二边形的内角和为$(12 - 2)\times180^{\circ}=1800^{\circ}$，$\therefore$正十二边形的每一个内角为$1800^{\circ}\div12 = 150^{\circ}$。
　$\because150^{\circ}\times2+60^{\circ}=360^{\circ}$，
　$\therefore$同时用$1$块正三角形和$2$块正十二边形能镶嵌成一个平面图形。

14.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
猜想1:能不能同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证1:在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形，它们的内角可以拼成一个周角，根据题意，可得方程90x + $\frac{(8 - 2)\times180}{8}y = 360$，整理，得2x + 3y = 8，我们可以找到方程的正整数解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$.
结论1:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形,它们的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2:是否能同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案;若不能，请说明理由.

答案： 解：能.
　验证:在镶嵌平面时，设围绕某一点有$x$个正三角形和$y$个正六边形，
　它们的内角可以拼成一个周角，正三角形的每个内角的度数为$60^{\circ}$，正六边形的每个内角的度数为$\frac{(6 - 2)\times180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$。
　根据题意，可得方程$60x + 120y = 360$，
　整理，得$x + 2y = 6$，方程的正整数解为$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$。
　所以能同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌，在一个顶点周围围绕$2$个正三角形和$2$个正六边形或者围绕$4$个正三角形和$1$个正六边形。