《2025年畅行课堂七年级数学下册华师大版》

数学活动　　试一下升级版的消元法
阅读感悟:
有些关于方程组的问题,所求结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值，如以下问题:
已知方程组$\begin{cases}3x + 7y + z = 3.15,\\4x + 10y + z = 4.20,\end{cases}$求$x + y + z$的值.
解:将原方程组整理，得$\begin{cases}2(x + 3y)+(x + y + z)=3.15,①\\3(x + 3y)+(x + y + z)=4.20.②\end{cases}$
①×3,得$6(x + 3y)+3(x + y + z)=9.45$.③
②×2,得$6(x + 3y)+2(x + y + z)=8.40$.④
③−④,得$x + y + z = 1.05$.
问题解决:
(1)仿照上述解法，已知方程组$\begin{cases}x + y + z = 11,\\x - 3y - z = 1,\end{cases}$求$x + 0.5z$的值;
(2)某班组织购买活动奖品,买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元;买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元?
(3)对于有理数$x$,$y$,定义新运算:$x*y = ax + by + c$,其中,$a$,$b$,$c$是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知$3*2 = 6$,$4*5 = 20$,求$2*(-1)$的值.

答案： 数学活动 试一下升级版的消元法解：（1）将原方程组整理，得$\begin{cases}(x + 0.5z)+(y + 0.5z)=11,①\\(x + 0.5z)-3(y + 0.5z)=1.②\end{cases}$$①\times3 + ②$，得$4(x + 0.5z)=34$，$\therefore x + 0.5z=8.5$。（2）设铅笔的单价为$m$元，橡皮的单价为$n$元，日记本的单价为$p$元。根据题意，得$\begin{cases}5m + 3n + 2p=32,①\\9m + 5n + 3p=58.②\end{cases}$将原方程组整理，得$\begin{cases}2(m + n + p)+(3m + n)=32,③\\3(m + n + p)+2(3m + n)=58,④\end{cases}$$③\times2 - ④$，得$m + n + p=6$。答：购买 1 支铅笔、1 块橡皮、1 本日记本共需 6 元。（3）根据题意，得$\begin{cases}3a + 2b + c=6,①\\4a + 5b + c=20.②\end{cases}$将原方程组整理，得$\begin{cases}(2a - b + c)+(a + 3b)=6,③\\(2a - b + c)+2(a + 3b)=20.④\end{cases}$$③\times2 - ④$，得$2a - b + c=-8$。$\therefore2\times(-1)=2a - b + c=-8$。