《2025年畅行课堂七年级数学下册华师大版》

1.(聊城中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB = 5，BC = 4，AC = 6，则CE:AD:BF值为__________.

答案： 12∶15∶10 【解析】在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD 与 CE 交于点 O，连接 BO 并延长交 AC 于点 F.
所以 BF⊥AC，所以$\frac{1}{2}AB\cdot CE=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AC\cdot BF$.
因为 AB = 5，BC = 4，AC = 6，
所以$\frac{1}{2}\times5CE=\frac{1}{2}\times4AD=\frac{1}{2}\times6BF$，
所以 CE∶AD∶BF = 12∶15∶10.

2. 如图，在△ABC中，AB = AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G. 判断DE，DF，BG的关系，并说明理由.

答案：
解：DE + DF = BG. 理由如下：
如图，连结 AD.

因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}$，
所以$\frac{1}{2}AC\cdot BG=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$.
又因为 AB = AC，
所以$\frac{1}{2}AC\cdot BG=\frac{1}{2}AC\cdot(DE + DF)$，
所以 DE + DF = BG.

3. 如图，在△ABC中，AB = AC = 8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E. 若△ABC的面积为14，问：PD + PE的值是定值吗？若是，求出PD + PE的值；若不是，请说明理由.

答案：
解：是定值.
如图，连结 AP.

因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AB\cdot PD+\frac{1}{2}AC\cdot PE$，$S_{\triangle ABC}=14$，AB = AC = 8，
所以$\frac{1}{2}\times8PD+\frac{1}{2}\times8PE = 14$，
所以$PD + PE=\frac{2\times14}{8}=\frac{7}{2}$.
因此，PD + PE 的值是定值，其值是$\frac{7}{2}$.

4. 已知AD是△ABC的高，∠BAD = 60°，∠CAD = 20°，则∠BAC = __________.

答案： 80°或 40°

5. 已知AD，AE分别是△ABC中边BC上的高和中线，且AD = 6，ED = 3，CD = 2，求△ABC的面积.

答案：
解：如解图 1，当高 AD 在△ABC 的内部时，则 EC = ED + CD = 5.
又因为 AE 是边 BC 的中线，所以 BC = 2EC = 10.
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times10\times6 = 30$.
如解图 2，当高 AD 在△ABC 的外部时，则 EC = ED - CD = 1.
又因为 AE 是边 BC 的中线，所以 BC = 2EC = 2.
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times2\times6 = 6$.
所以△ABC 的面积为 30 或 6.