《2025年畅行课堂七年级数学下册华师大版》

1. 如图，在△ABC中，∠B = 30°，∠ACB = 110°，AE是BC边上的高，AD平分∠BAC，则∠DAE的度数为______.

答案： 40°

2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠C = 70°，∠B = 30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠C - ∠B = 20°，求∠DAE的度数.

答案： 解：
(1)
∵在△ABC中，∠C = 70°，∠B = 30°，
∴∠BAC = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 70° - 30° = 80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°.
∵AD⊥BC，∠C = 70°，
∴∠ADC = 90°，
∴∠CAD = 90° - ∠C = 90° - 70° = 20°.
∵∠CAE = 40°，
∴∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = 20°.
(2)
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠C - ∠B).
∵AD⊥BC，
∴∠ADC = 90°，
∴∠CAD = 90° - ∠C，
∴∠DAE = ∠CAE - ∠CAD
= $\frac{1}{2}$(180° - ∠C - ∠B) - (90° - ∠C)
= $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B) = 10°.

3. 如图，在△ABC中，∠C ＞ ∠B，AE是∠BAC的平分线. F是AE上一点，FG⊥BC于点G，这时∠EFG与∠B，∠C有怎样的数量关系？请说明理由.
【拓展应用1】如图，在△ABC中，若AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一点，过点F作FG⊥BC于点G，且∠B = 40°，∠C = 80°，则∠EFG = ______°.
【拓展应用2】如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，F为DA延长线上一点，FE⊥BC于点E，∠B = 35°，∠C = 65°，则∠DFE的度数为______.

答案： 解：∠EFG = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B).
理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{180° - ∠B - ∠C}{2}$ = 90° - $\frac{1}{2}$(∠C + ∠B).
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠B + 90° - $\frac{1}{2}$(∠C + ∠B) = 90° + $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C).
∵FG⊥BC，
∴∠FGE = 90°.
∴∠EFG = 90° - [90° + $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C)] = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B).
【拓展应用1】20 【拓展应用2】15°

4. 如图，在△ABC中，∠B ＞ ∠C，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D，则∠M = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C)成立吗？试说明理由.

答案：
解：∠M = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C)成立.
理由如下：
如图，过点A作AN⊥BC于点N;

在△ABC中，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C).
∵AN⊥BC，
∴∠ANB = 90°.
∴∠BAN = 90° - ∠B.
∴∠NAE = ∠BAE - ∠BAN
= 90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠C) - (90° - ∠B)
= $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C).
∵MD⊥BC，
∴∠MDE = ∠ANE = 90°.
∵∠DEM = ∠NEA，
∴∠M = ∠NAE = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C).