《2025年畅行课堂七年级数学下册华师大版》

1.【一题多解】已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + 3y = k,\\x + 2y = -1\end{cases}$的解互为相反数，求$k$的值.

答案： 解：
方法一：$\begin{cases}2x + 3y = k,①\\x + 2y = -1,②\end{cases}$
① - ②，得$x + y = k + 1$。
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + 3y = k\\x + 2y = -1\end{cases}$的解互为相反数，所以$x + y = 0$，即$k + 1 = 0$，解得$k = -1$。
方法二：解方程组$\begin{cases}2x + 3y = k\\x + 2y = -1\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 2k + 3\\y = -2 - k\end{cases}$。
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + 3y = k\\x + 2y = -1\end{cases}$的解互为相反数，所以$x + y = 0$，所以$2k + 3 - 2 - k = 0$，解得$k = -1$。
方法三：方程组$\begin{cases}2x + 3y = k,①\\x + 2y = -1②\end{cases}$的解互为相反数，所以$x + y = 0$，③
联立②③，得$\begin{cases}x + y = 0\\x + 2y = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$。
将$x = 1,y = -1$代入①，得$k = 2\times1 + 3\times(-1)= -1$。

2. 解方程组$\begin{cases}2(x + y)-3y = 5,①\\(x + y)-5y = 6.②\end{cases}$

答案： 解：由②，得$x + y = 5y + 6$。③
把③代入①，得$2(5y + 6)-3y = 5$，解得$y = -1$。
把$y = -1$代入③，得$x = 2$。
所以$\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases}$。

3. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如表所示. 甲班分两次共购买苹果70 kg(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70 kg.
(1)乙班比甲班少付出多少元？
(2)甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？

答案： 解：
(1)$189 - 2\times70$
$= 189 - 140$
$= 49$（元）。
答：乙班比甲班少付出49元。
(2)设甲班第一次购买了苹果$x$千克，则第二次购买了苹果$y$千克，
①第一次不超过30千克，第二次30千克以上，但不超过50千克，根据题意，得$\begin{cases}x + y = 70\\3x + 2.5y = 189\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 28\\y = 42\end{cases}$。
因为$28\lt30,30\lt42\lt50$，所以符合题意。
②第一次不超过30千克，第二次50千克以上，根据题意，得$\begin{cases}x + y = 70\\3x + 2y = 189\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 49\\y = 21\end{cases}$。
因为$49\gt30$，所以不符合题意。
③两次都30千克以上，但不超过50千克，根据题意，得$\begin{cases}x + y = 70\\2.5x + 2.5y = 189\end{cases}$，此时方程无解。
答：甲班第一次购买了苹果28千克，第二次购买了苹果42千克。