《2025年畅行课堂七年级数学下册华师大版》

2.(2024·柳州期末)阅读材料：善于思考的小军在解方程组$\begin{cases}2x + 5y = 3①\\4x + 11y = 5②\end{cases}$时. 采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，得$4x + 10y + y = 5$，
即$2(2x + 5y)+y = 5$. ③
把方程①代入③，得$2×3 + y = 5$，解得$y = -1$.
把$y = -1$代入①，得$x = 4$.
所以$\begin{cases}x = 4,\\y = -1.\end{cases}$
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5,①\\9x - 4y = 19;②\end{cases}$
(2)已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x^{2}-2xy + 12y^{2}=47①\\2x^{2}+xy + 8y^{2}=36②\end{cases}$，求$x^{2}+4y^{2}$的值.

答案： 解：
(1)将方程②变形，得3x + 6x - 4y = 19，
即3x + 2(3x - 2y) = 19.③
把方程①代入③，得3x + 10 = 19，
解得x = 3.
把x = 3代入①，得y = 2.
所以$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}$.
(2)① + 2×②，得7x² + 28y² = 119.
所以x² + 4y² = 17.

3.(2024·邻水县期末)阅读材料并回答下列问题：
当$m$，$n$都是实数，且满足$m - n = 6$，就称点$P(m - 1,3n + 1)$为“可爱点”. 例如：点$E(3,1)$，令$\begin{cases}m - 1 = 3,\\3n + 1 = 1\end{cases}$得$\begin{cases}m = 4\\n = 0\end{cases}$，$m - n = 4\neq6$，所以$E(3,1)$不是“可爱点”；$F(4,-2)$，令$\begin{cases}m - 1 = 4,\\3n + 1 = -2\end{cases}$得$\begin{cases}m = 5\\n = -1\end{cases}$，$m - n = 6$，所以$F(4,-2)$是“可爱点”.
(1)请判断点$A(7,1)$是否为“可爱点”：______(填“是”或“否”)；
(2)若以关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + y = 2\\2x - y = t\end{cases}$的解为坐标的点$B(x,y)$是“可爱点”，求$t$的值；
(3)若以关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - y = a\\3x + y = 2b\end{cases}$的解为坐标的点$C(x,y)$是“可爱点”，求正整数$a$，$b$的值.

答案： 解：
(1)否
(2)方程组$\begin{cases}x + y = 2 \\ 2x - y = t\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = \frac{t + 2}{3} \\ y = \frac{4 - t}{3}\end{cases}$
因为点B($\frac{t + 2}{3}$, $\frac{4 - t}{3}$)是“可爱点”，
所以$\begin{cases}m - 1 = \frac{t + 2}{3} \\ 3n + 1 = \frac{4 - t}{3}\end{cases}$，
所以$\begin{cases}m = \frac{t + 5}{3} \\ n = \frac{1 - t}{9}\end{cases}$，
因为m - n = 6，所以$\frac{t + 5}{3}$ - $\frac{1 - t}{9}$ = 6，
解得t = 10，所以t的值为10.
(3)方程组$\begin{cases}x - y = a \\ 3x + y = 2b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = \frac{a + 2b}{4} \\ y = \frac{2b - 3a}{4}\end{cases}$
因为点C($\frac{a + 2b}{4}$, $\frac{2b - 3a}{4}$)是“可爱点”，
所以$\begin{cases}m - 1 = \frac{a + 2b}{4} \\ 3n + 1 = \frac{2b - 3a}{4}\end{cases}$，
所以$\begin{cases}m = \frac{a + 2b + 4}{4} \\ n = \frac{2b - 3a - 4}{12}\end{cases}$，
因为m - n = 6，
所以$\frac{a + 2b + 4}{4}$ - $\frac{2b - 3a - 4}{12}$ = 6，
解得b = 14 - $\frac{3}{2}$a.
因为a，b为正整数，
所以$\begin{cases}a = 2 \\ b = 11\end{cases}$或$\begin{cases}a = 4 \\ b = 8\end{cases}$或$\begin{cases}a = 6 \\ b = 5\end{cases}$或$\begin{cases}a = 8 \\ b = 2\end{cases}$.