《2025年课堂点睛七年级数学上册北师大版》

9. (聊城市中考)如图,图中数字是从 1 开始按箭头方向排列的有序数阵.从 3 开始,把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：$(3,5)$；$(7,10)$；$(13,17)$；$(21,26)$；$(31,37)$；….如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究,就会发现其中的规律.请写出第$n$个数对：$(n^{2}+n+1,n^{2}+2n+2)$.

答案： $(n^{2}+n+1,n^{2}+2n+2)$

10. 如图,每个小正方形的面积均为 1.将左图中黑色的小正方形移动,得到右边拼成的长方形,根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数,如图得出以下等式：
(1)请写出第 3 个等式：2+4+6+8=4×5；
(2)第$n$个等式为：$2 + 4 + 6 + … +$2(n+1)=(n+1)(n+2)(用含$n$的等式表示)；
(3)当$n$为多少时,左图中的最底端有 200 个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？
解:因为最底端有 200 个小正方形,所以$2(n+1)=200$,解得:$n=99$,所以$2+4+6+\cdots +200=100×101=10100$(个).答:$n=99$,共有 10100 个小正方形.

答案：
(1)$2+4+6+8=4×5$
(2)$2(n+1)=(n+1)(n+2)$
(3)解:因为最底端有 200 个小正方形,所以$2(n+1)=200$,解得:$n=99$,所以$2+4+6+\cdots +200=100×101=10100$(个).答:$n=99$,共有 10100 个小正方形.

11. (核心素养·应用意识)小明平时常用底面为长方形的模具制作蛋糕,并以平行于模具任一边的方式进行横切或纵切,横切都是从模具的左边切割到模具的右边,纵切都是从模具的上边切割到模具的下边.用这种方式,可以切出数个大小完全相同的小块蛋糕.在切割后,他发现小块蛋糕接触模具的地方外皮比较焦脆,以如图为例,横切 2 刀,纵切 3 刀,共计 5 刀,切出$(2 + 1)×(3 + 1)= 12$个小块蛋糕,其中侧面有焦脆的小块蛋糕共有 10 个,所有侧面都不焦脆的小块蛋糕共有 2 个.
请根据上述切割方式,回答下列问题,并详细解释或完整写出你的解题过程：
(1)若对一块蛋糕切了 4 刀,则可切出几个小块蛋糕？请写出任意一种可能的蛋糕块数即可；
(2)今小明根据一场聚餐的需求,打算制作出恰好 60 个所有侧面都不焦脆的小块蛋糕,为了避免劳累并加快出餐速度,在不超过 20 刀的情况下,请问小明需要切几刀,才可以达成需求？请写出所有可能的情形.

答案：
(1)解:横切 2 刀,纵切 2 刀可以分成 9 块(答案不唯一).
(2)$\because 60=12×5=10×6$,$\therefore$可以横切 13 刀,纵切 6 刀或横切 11 刀,纵切 7 刀可以满足条件.