《2025年课堂点睛七年级数学上册北师大版》

8. (甘孜州中考)有一列数,记第 $n$ 个数为 $a_n$,已知 $a_1 = 2$,当 $n ＞ 1$ 时,$a_n = \begin{cases} \dfrac{1}{a_{n - 1}} (n 为偶数),\\ \dfrac{1}{1 - a_{n - 1}} (n 为奇数), \end{cases} $ 则 $a_{2025}$ 的值为2.

答案： 2

9. 任取一个三位数,把这个三位数的百位数字乘 2,得到下一个数的百位数字,如果乘 2 后比 9 大,则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字,对起始数的十位数字和个位数字进行相同的操作,得到下一个数的十位数字和个位数字,完成第 1 次操作,然后重复这个过程…以“325”作为原始数,第 2024 次操作后得到的数是382.

答案： 382

10. 小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象：

(1) 请你对照示例再写一个数字按这种操作；
(2) 请你在草稿纸上用不同的三位数再做做,发现有什么有趣的现象？用你所学过的知识解释.

答案：
(1)解:$614-416=198$,$198+891=1089$.
(2)结果一定是 1089;设百位数字为$a$,十位数字为$b$,则个位数字为$a-2$,则第一步$100a+10b+a-2=101a+10b-2$,第二步$100(a-2)+10b+a=101a+10b-200$,第三步两式相减:$101a+10b-2-(101a+10b-200)=198$,$\therefore 198+891=1089$.

11. (核心素养·推理能力)任意写出一个三位数(个位,十位,百位上的数字都不为零),任取其三个数字中的两个,组合成所有可能的两位数(有 6 个),求出所有这些两位数的和,然后将它除以原三位数的各个数位上的数字之和. 例如,对三位数 223,取其两个数字组成所有可能的两位数：22,23,22,23,32,32,它们的和是 154,三位数 223 各个数位上的数字的和是 7,$154 ÷ 7 = 22$.
(1) 若写的三位数是 111,最后得到的结果是22；若写的三位数是 345,最后得到的结果是22；
(2) 由(1)的探索过程,若写出的三位数,百位数字是 $a$,十位数字是 $b$,个位数字是 $c$,最后得到的结果是什么？请运用相关知识严格的证明你的猜想.
(2)解:猜想:所得结果是 22,理由如下:该三位数百位数为$a$,十位数为$b$,个位数为$c$,则这个三位数可表示为$100a+10b+c$,组合成的两位数有:$10a+b$,$10a+c$,$10b+a$,$10b+c$,$10c+a$,$10c+b$,求和得:$22(a+b+c)$,即:$22(a+b+c)÷(a+b+c)=22$.

答案：
(1)22 22
(2)解:猜想:所得结果是 22,理由如下:该三位数百位数为$a$,十位数为$b$,个位数为$c$,则这个三位数可表示为$100a+10b+c$,组合成的两位数有:$10a+b$,$10a+c$,$10b+a$,$10b+c$,$10c+a$,$10c+b$,求和得:$22(a+b+c)$,即:$22(a+b+c)÷(a+b+c)=22$.