《2025年课堂点睛七年级数学上册北师大版》

10. 当$a＜0$时,下列四个结论：①$a^{2}＞0$；②$a^{2}= (-a)^{2}$；③$-a^{3}= |a^{3}|$；④$-a^{2}= |-a^{2}|$,其中一定正确的有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

11. (新定义)规定：将$x^{n}= y记录为(x,y)= n$。例如：若$4^{3}= 64$,则$(4,64)= 3$。若$(-2,a)= 2$,$(b,-8)= 3$,则$(b,a)$的值为(C)
A.0
B.1
C.2
D.4

答案： C

12. (新定义)规定一种运算“$\triangle$”满足：$a\triangle b= a^{2}-b^{3}$,则$(-5)\triangle(-2)$的值为33。

答案： 33

13. 已知：$3^{1}= 3$,$3^{2}= 9$,$3^{3}= 27$,$3^{4}= 81$,$3^{5}= 243$,$3^{6}= 729$,$3^{7}= 2187$,$3^{8}= 6561$,…,观察规律猜想$3^{2024}$的末位数字是1。

答案： 1

14. 已知某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律,5小时后细胞存活的个数是33个,第$n$小时后细胞存活个数是$(2^n+1)$个。

答案： 33 $(2^n+1)$

15. 计算：
(1)$-(\frac{1}{4})^{2}×(-4)^{2}÷(-\frac{1}{8})$；
(2)$(-3^{3})×(-1\frac{7}{25})÷(-4^{2})×(-1)^{25}$。

答案：
(1)解:$-\left(\frac{1}{4}\right)^2×(-4)^2÷\left(-\frac{1}{8}\right)=\left(-\frac{1}{16}\right)×16×(-8)=8.$
(2)解:$(-3^3)×\left(-1\frac{7}{25}\right)÷(-4^2)×(-1)^{25}=(-27)×\left(-\frac{32}{25}\right)×\left(-\frac{1}{16}\right)×(-1)=\frac{54}{25}.$

16. (核心素养·创新意识)阅读材料,解决问题：我们学习了乘方的定义和意义,根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：$2^{3}= 2×2×2$；$2^{4}= 2×2×2×2$；观察上述算式,$2^{3}×2^{4}= 2×2×2×2×2×2×2= 2^{7}$；可以得到：$2^{3}×2^{4}= 2^{7}$；类比上述式子,你能够得到：
(1)$10^{2}×10^{5}=$$10^7$,$a^{3}\cdot a^{5}=$$a^8$；
(2)利用由特殊到一般的思想,可以得到：$a^{m}\cdot a^{n}=$$a^{m+n}$($m$、$n$都是正整数)；
(3)知识运用：$x\cdot x^{2}\cdot x^{2024}=$$x^{2027}$,$y^{2n}\cdot y^{n+1}=$$y^{3n+1}$；
(4)已知$x^{a}= 3$,$x^{b}= 6$,求$x^{a+b}$的值。
解:因为$x^a=3,x^b=6$,所以$x^{a+b}=x^a\cdot x^b=3×6=18.$

答案：
(1)$10^7$ $a^8$
(2)$a^{m+n}$
(3)$x^{2027}$ $y^{3n+1}$
(4)解:因为$x^a=3,x^b=6$,所以$x^{a+b}=x^a\cdot x^b=3×6=18.$

【针对训练】已知$|x+2|+(3-y)^{2}= 0$,则$x^{y}$的值是-8。

答案： -8

【变式1】已知$(m+2)^{2}+|n-2|= 0$,则$-m^{n}$的值是-4。

答案： -4

【变式2】已知$|5+x|与(y-2)^{2}$互为相反数,则$x^{y}= $25。

答案： 25