《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为 $ y $ 轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为$y = ax^{2}$.

答案： $y = ax^{2}$

2. 如图,有一抛物线拱桥,已知水位线在 $ AB $ 位置时,水面的宽为 $ 4\sqrt{6} $ 米,水位上升 $ 4 $ 米,就达到警戒线 $ CD $,这时水面宽为 $ 4\sqrt{3} $ 米. 若洪水到来时,水位以 $ 0.5 $ 米/时的速度上升,则水过警戒线后8小时淹没到拱桥顶端 $ M $ 处.

答案： 8

例 一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示. 现测得：当水面宽 $ AB = 18 $ m 时,涵洞顶点与水面的距离为 $ 9 $ m. 当水面宽 $ CD = 6 $ m 时,水位上升了多少？

答案： 解 以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为 $ y $ 轴建立直角坐标系(如右图).
设这条抛物线的函数解析式为 $ y = ax^{2} $.
依题意得点 $ A $ 的坐标是 $ (-9, -9) $.
把点 $ A (-9, -9) $ 代入 $ y = ax^{2} $ 中,得 $ a = -\frac{1}{9} $.
∴ 这条抛物线的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{9}x^{2} $.
当水面宽 $ CD = 6 $ m 时,点 $ C $ 的横坐标是 $ x = -3 $.
把 $ x = -3 $ 代入 $ y = -\frac{1}{9}x^{2} $ 中,得 $ y = -1 $.
∴ 点 $ C $ 的坐标是 $ (-3, -1) $,此时涵洞顶点与水面距离为 $ 1 $ m,水位上升了 $ 8 $ m.
∴ 当水面宽 $ CD = 6 $ m 时,水位上升了 $ 8 $ m.

1. 已知抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 3 $,当 $ x = 2 $ 时,$ y = $5；当 $ y = 5 $ 时,$ x = $-4或2.

答案： 5；-4或2

2. 抛物线 $ y = -4(x - 5)^{2} + 10 $,当 $ x = $5时,$ y $ 有最大值,最大值为10.

答案： 5；10