《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 如图,在Rt△ABC中,∠B = 90°,AB = 4,BC = 6,点D在BC边上,将点A绕点D顺时针旋转90°得到点E,连接DE,CE. 当△DCE是等腰三角形时,BD的长为$\frac{5}{3}$或$4\sqrt{3}-4$.

答案： $\frac{5}{3}$或$4\sqrt{3}-4$.

2. 如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE与DC有什么关系？试用旋转的性质说明上述关系成立的理由.

答案： BE = DC. 理由如下：
∵ AD = AB，AE = AC，
∴ △ADC以A为旋转中心，逆时针旋转60°后与△ABE重合，
∴ BE = DC.

如图,已知Rt△ABC中,∠ABC = 90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线平移至△FEG,DE,FG相交于点H.
(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由；
(2)连接CG,求证：四边形CBEG是正方形.

答案：
(1) FG⊥ED. 理由如下：
∵ △ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，
∴ ∠DEB = ∠ACB，
∵ 把△ABC沿射线平移至△FEG，
∴ ∠GFE = ∠A，
∵ ∠ABC = 90°，
∴ ∠A + ∠ACB = 90°，
∴ ∠DEB + ∠GFE = 90°，
∴ ∠FHE = 90°，
∴ FG⊥ED.
(2) 根据旋转和平移可得∠GEF = 90°，∠CBE = 90°，CG//EB，BC = BE，
∵ CG//EB，
∴ ∠BCG + ∠CBE = 180°，
∴ ∠BCG = 90°，
∴ 四边形BCGE是矩形，
∵ CB = BE，
∴ 四边形CBEG是正方形