《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

1. 某山区不仅有美丽的风光,也有许多受市场青睐的土特产,为实现脱贫奔小康,该山区组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入. 已知某种土特产每袋成本 10 元,试销阶段每袋成本 10 元,试销阶段销售价 $ x $(元/袋)与该土特产的日销售量 $ y $(袋)之间的关系如表.

(1) 若日销售量 $ y $(袋)是销售价 $ x $(元/袋)的一次函数,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2) 假设后续销售情况与试销阶段效果相同,设每日销售土特产的利润为 $ w $(元),试求：
① 求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
② 要使这种土特产每日销售的利润最大,销售价应定为多少元/袋？每日销售的最大利润是多少元？

答案： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元/袋)的函数关系式为$y = kx + b$，则$\begin{cases}15k + b = 25 \\20k + b = 20\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1 \\b = 40\end{cases}$，
∴日销售量y(袋)与销售价x(元/袋)的函数关系式为$y = - x + 40$.（2）①依题意，设利润为w元，得$w = (x - 10)( - x + 40)= - x^2 + 50x - 400$.②由$w = - x^2 + 50x - 400$整理，得$w = - (x - 25)^2 + 225$.
∵$-1 ＜ 0$，
∴当$x = 25$时，w取得最大值，最大值为225.
∴使这种土特产每日销售的利润最大，销售价为25元/袋，最大利润是225元.

2. 已知在 $ △ABC $ 中,边 $ BC $ 的长与 $ BC $ 边上的高的和为 20.
(1) 写出 $ △ABC $ 的面积 $ y $ 与 $ BC $ 的长 $ x $ 之间的函数关系式,并求出面积为 48 时 $ BC $ 的长；
(2) 当 $ BC $ 多长时,$ △ABC $ 的面积最大？最大面积是多少？
(3) 当 $ △ABC $ 的面积最大时,是否存在其周长最小的情形？如果存在,请说明理由,并求出其最小周长；如果不存在,请给予说明原因.

答案：
（1）依题意，得$y = \frac{1}{2}x(20 - x)= - \frac{1}{2}x^2 + 10x$（$0 ＜ x ＜ 20$）. 解方程，得$48 = - \frac{1}{2}x^2 + 10x$，得$x_1 = 12$，$x_2 = 8$，
∴当$\triangle ABC$的面积为48时，BC的长为12或8.（2）由（1）得$y = - \frac{1}{2}x^2 + 10x = - \frac{1}{2}(x - 10)^2 + 50$，
∴当$x = 10$，即$BC = 10$时，$\triangle ABC$的面积最大，最大面积是50.（3）当$\triangle ABC$的面积最大时，存在$\triangle ABC$的周长最小的情形，理由如下：由（2）可知$\triangle ABC$的面积最大时，$BC = 10$，BC边上的高也为10. 如图，过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点$B'$，连接$B'C$交直线l于点$A'$，再连接$A'B$，$AB'$，则由对称性得$A'B' = A'B$，$AB' = AB$，
∴$A'B + A'C = A'B' + A'C = B'C$. 当点A不在线段$B'C$上时，则由三角形三边关系可得：$AB + AC + BC = AB' + AC + BC ＞ B'C + BC$. 当点A在线段$B'C$上时，即点A与$A'$重合，这时$AB + AC + BC = A'B' + A'C + BC = B'C + BC$. 因此当点A与$A'$重合时，$\triangle ABC$的周长最小. 这时由作法可知$BB' = 20$，
∴$B'C = \sqrt{20^2 + 10^2} = 10\sqrt{5}$.
∴最小周长为$10\sqrt{5} + 10$.
∴当$\triangle ABC$的面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为$10\sqrt{5} + 10$.