《2025年南方新课堂金牌学案九年级数学上册人教版》

如果关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的 2 倍,那么称这样的方程为“倍根方程”. 例如,一元二次方程 $ x^{2} - 6x + 8 = 0 $ 的两个根是 2 和 4,则方程 $ x^{2} - 6x + 8 = 0 $ 就是倍根方程.
(1) 若一元二次方程 $ x^{2} - 3x + c = 0 $ 是倍根方程,则 $ c = $2.
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 是倍根方程,则 $ a $,$ b $,$ c $ 之间的关系为2b²=9ac.
(3) 若 $ (x - 2)(mx - n) = 0 (m \neq 0) $ 是倍根方程,求代数式 $ 4m^{2} - 5mn + n^{2} $ 的值.
∵(x-2)(mx-n)=0(m≠0)是倍根方程，
∴方程的两个根分别为x₁=2，x₂=n/m.
∴n/m=4或n/m=1，即n=4m或n=m. 当n=4m时，4m²-5mn+n²=(m-n)(4m-n)=0. 当n=m时，4m²-5mn+n²=(m-n)(4m-n)=0.
∴代数式4m²-5mn+n²=0.

答案： （1）2. （2）2b²=9ac.
（3）
∵(x-2)(mx-n)=0(m≠0)是倍根方程，
∴方程的两个根分别为x₁=2，x₂=n/m.
∴n/m=4或n/m=1，即n=4m或n=m. 当n=4m时，4m²-5mn+n²=(m-n)(4m-n)=0. 当n=m时，4m²-5mn+n²=(m-n)(4m-n)=0.
∴代数式4m²-5mn+n²=0.

1. 形如$x^{2}= p$($p$是常数,$p＞0$)或$a(x+n)^{2}= p$($a$,$n$,$p$为常数,且$ap＞0$),最好选择直接开平方法.

答案： 直接开平方法

2. 形如$ax^{2}+bx+c= 0$($a\neq0$)可用公式法、因式分解法,也可将二次项系数化为1选择配方法.

答案： 配方法

3. 形如$x^{2}+bx+c= 0$,当$b$是偶数时,最好选择配方法,当$b$是奇数时,最好选择公式法.

答案： 配方；公式